ADMM

ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers，多项式交替方向乘子法）是一种用于求解凸优化问题的迭代算法。该算法是由Gabriel Peyré, Neal Parikh和Mathieu Chanaux等人在2010年左右提出的，是一种分布式算法，适用于大规模数据和分布式计算环境。

ADMM的目标是求解以下形式的凸优化问题：

\[\min_x f(x) + g(z) \]

\[s.t. \quad Ax + Bz = c \]

其中，\(x\)和\(z\)是待求解的变量，\(f(x)\)和\(g(z)\)是凸函数，\(A,B\)和\(c\)是常数矩阵。

ADMM的基本思想是将原问题转化为一系列子问题，每个子问题都是容易求解的。具体地，ADMM将原问题拆分为以下三个子问题：

优化\(x\)，固定\(z\)和\(\lambda\)：

\[\min_x f(x) + \frac{\rho}{2} \left| Ax + Bz - c + \lambda \right|_2^2 \]

其中，\(\lambda\)是拉格朗日乘子，\(\rho\)是一个正的惩罚参数。

优化\(z\)，固定\(x\)和\(\lambda\)：

\[\min_z g(z) + \frac{\rho}{2} \left| Ax + Bz - c + \lambda \right|_2^2 \]

更新拉格朗日乘子\(\lambda\)：

\[\lambda = \lambda + \rho (Ax + Bz - c) \]

其中，\(\rho\)是ADMM算法的一个参数，也称为步长。

以上三个子问题可以通过交替迭代的方式求解，具体地，ADMM的迭代过程如下：

初始化\(x^0,z^0,\lambda^0\)。

重复执行以下步骤直至收敛：

通过固定\(z\)和\(\lambda\)，使用优化算法求解\(x\)，更新\(x\)。
通过固定\(x\)和\(\lambda\)，使用优化算法求解\(z\)，更新\(z\)。
更新拉格朗日乘子\(\lambda\)。
其中，优化算法可以选择不同的方法，如梯度下降、牛顿法、共轭梯度等。

ADMM的优点在于可以将大规模优化问题分解为多个小规模子问题，并可以分布式地求解这些子问题。此外，ADMM的收敛性和收敛速度都得到了严格的证明，具有一定的理论保证。