集训-几道期望

一个小式子

\(0\equiv a+b \pmod {a+b}\\-a\equiv b\pmod {a+b}\\a^2\equiv b^2\pmod {a+b}\)

同理，\(a^2\equiv b^2\pmod {a-b}\)

期望三连

期望1（生日问题）

如果认为每个人每天出生概率相同
一个老板要雇佣 n 个人
在一年中，对于一天来说，如果这天是任意一个员工的生日，那么这天所有员工都放假
求雇佣多少人可以使得一年中员工工作人次最高

考虑一天的期望，\(ans=n(\frac {364}{365})^n\)，求\(ans\)最大值，实测\(n=364\)或\(365\)最大

期望2（期望最大值）

在0到1之间随机选取k个实数，问最大数的期望

考虑积分，对于特定的一个数为最大数，且等于\(x\)的概率为\(x^{k-1}\)，而有\(k\)个数可能为最大数，再算上自身的期望贡献，答案为\(\int_0^1kx^kdx=\frac k{k+1}\)

答案可扩展：

①第\(i\)小的数期望为\(\frac i{k+1}\)（目前详细证明已更新）

①当前发现自己比\(a\)个人高，比\(b\)个人低，则比新加进来的一个人高的概率为\(\frac {a+1}{a+b+2}\)

期望3（发车问题）

如果公交车每\(t\)时间发车一辆，问期望等待时间

若公交准点，明显\(\frac t2\)，证明显然

若公交泊松分布出现，则期望等待时间为\(t\)

证明：

从现在开始的\(nt\)时间内有\(n\)辆车

最早来车时间期望为\(\frac {nt}{n+1}\)

则\(n\)接近无穷大时，极限为\(t\)