逻辑代数

 

学习代数基础，我们主要需要掌握以下几个方面：

1、逻辑代数基本和常用公公式

2、逻辑代数基本定理

3、逻辑代数的描述方法以及方法之间的相互转换

4、逻辑函数化简

下面我们就一个一个的来学习

一、逻辑代数基本公式

 

 二、逻辑代数常用公式

 

证明如下：

21.A+AB`=A(1+B`)=A

22.A+A`B=(A+A`)(A+B)=A+B

这个公式表明：两个乘积项相加时，如果一项取反是i另一项的因子，则次因子是多余的

23.AB+AB`=A

24.A(A+B)=A+AB=A(1+B)=A

25.AB+A`C+BC=AB(C+C`)+(A`C(B+B`)+BC(A+A`)=ABC+ABC`+A`BC+A`B`C=AB+A`C

这个·公式表明，如果两个乘积项分辨包含A和A`两个因子，而这两个乘积项的其余因子组成第三个乘积项时，第三个乘积项是多余的

26.A(AB)`=A(A`+B`)=AB`  A`(AB)`=A`+A`B`=A`;

三.逻辑代数基本定理

代入定理：略

反演定理：对于任意一个表达式y，将其中的乘号变加号，加号变乘号，0变为1，1变为0，原变量变为反变量，反变量变为原变量，得到的结果为y`，这个就称为反演定理。

反演定理遵循两个规则：

1.仍遵循先括号，然后乘，最后加的运算优先顺序

2.不属于单个变量上的反号应保留不变。

对偶定理：对于任意一个表达式y，将其中的乘号变加号，加号变乘号，0变为1，1变为0

四、逻辑函数及其表示方法及转换

在这里主要介绍真值表，逻辑函数式，逻辑图之间的转换

真值表其实很简单，就是将所有可能的情况以及其对应的结果给罗列出来

真值表转换为逻辑式

 

 

 

 逻辑函数的两种标准方式 最大项和最小项

最小项：在n变量的逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。输入变量都使每一个对应的最小项值为1

最小项的性质：

1.任意两个最小项乘积为0；

2.全体最小项的和为1；

3.再输入变量的任何·取值下，必有一个最小项，且最小项的和为1

相邻性：两个最小项只有一个因子不同

最大项：
在n变量的逻辑函数中，若M为包含n个因子的和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称m为该组变量的最大项

                     

 

 

 最大项特征：

1.全体最大项的值为0

2.全体最大项的乘积为0

3.任意两个最大项的和为1

五、逻辑函数的化简方法

最简形式;在与或式中，包含的乘积项最少，而且每个乘积项里面的因子不能再分解。

公式化简法：略

卡诺图化简：

                               

 

 

 

 在卡诺图化简的前提就是卡诺图要正确，可能看见上面的卡诺图，你会有这样的疑问，为什么不是按照00 01 10 11的方式来存。这是因为卡诺图的定义，不仅要求在几何位置相邻，而且要求在逻辑上相邻（也就是只能有一个变量不同）。处于任何一行或一列两端的最小项有且只有一位不同，所以从几何位置上来说，卡诺图是封闭的。

化简所依据的原理：卡诺图相邻项可以合并。

用卡诺图表示逻辑函数：

1.将逻辑函数化为最小项

2..将卡诺图画出来，将逻辑函数中的存在的最小项所对应的卡诺图格子中填入1，其余填零。

3.合并最小项

原则：

若两个最小项相邻，可以消去一堆因子

若有四个最小项相邻成一个矩形，则可以消去两对因子

若有八个最小项相邻，则可以消去三对因子

我们在消去的时候，按照从多到少的顺序消去（即先看有没有八个的，再看四个的，最后看有没有两个的）

卡诺图化简结果不唯一。

 六、具有无关项逻辑函数及化简

约束项，任意项和逻辑函数中的无关项

约束项：对输入变量取值有限制，在这些取值下为1的最小项称为约束项

任意项：在输入变量的某些取值下，函数值为1或0不影响逻辑函数的功能，在这些取值下为1的最小项称为任意项

无关项是任意项和约束项的统称

对于无关项，在卡诺图中我们用X来表示

             

 

 

 对于X的取值，我们可以任意选0或1，但是要有利于我们化简。

      

对于任意一个x或1，我们可以多次圈。

注意：约束条件的表达形式为某些最小项的和为0，这个表示方法并不是说这些最小项全为0，并非其字面意思，而是表示这些项为无关项。