2016 年中国科学院大学数学分析考研试题

中国科学院大学

2016 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题

数学分析

1. 计算极限

\begin{equation*}
    \lim_{x\to 0} \left(\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2x}+\dotsb+\mathrm{e}^{nx}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}.
  \end{equation*}

2.  求定积分

\begin{equation*}
    I=\int_{0}^{1} \log(1+\sqrt{x})\, \mathrm{d}x.
  \end{equation*}

3.  求二重极限

\begin{equation*}
    \lim_{\substack{x\to \infty \\ y\to \infty }} \frac{x+y}{x^2-xy+y^2}.
  \end{equation*}

4. 设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上连续正函数, 求证存在 $\xi \in(a,b)$, 使得
  \begin{equation*}
    \int_{a}^{\xi} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{\xi}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x =\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x.
  \end{equation*}

5. 求以下曲面所围立体的体积:

\begin{align*}
   & S_1 \colon  \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2}=1, \\
   & S_2 \colon \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2} \quad (z\geqslant 0).
  \end{align*}

6. 设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数, 且 $f(x)$ 单调递增. 求证:
  \begin{equation*}
    \int_{a}^{b} tf(t) \, \mathrm{d}t \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(t)\,\mathrm{d}t.
  \end{equation*}

7. 若数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ 满足如下条件:

    (a) $a_1\geqslant a_2 \geqslant \dotsc$ 且 $\lim\limits_{n\to \infty} a_n =0$;

    (b) 存在正数 $M$, 对任意的正整数 $n$, 均有 $\left|\sum\limits_{k=1}^{n}b_k  \right| \leqslant M$.

    证明级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 收敛.

8. 设 $0\leqslant a< b/2$, $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上可导且 $f(a)=a$, $f(b)=b$.

    (a) 求证存在 $\xi\in (a,b)$, 使得 $f(\xi)=b-\xi$;

    (b) 若 $a=0$, 求证存在 $\alpha, \beta\in (a,b)$, $\alpha\neq \beta$, 使得 $f'(\alpha)f'(\beta)=1$.

9. 求椭圆 $x^2+4y^2=4$ 上到直线 $2x+3y=6$ 距离最短的点, 并求其最短距离.

10. 半径为 $R$ 的球面 $S$ 的球心在单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上, 求球面 $S$ 在单位球内面积的最大值, 并求出此时的 $R$.