讲义26.7.20

基础知识：
1，向量平行\(\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}<=>\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}，\overrightarrow{b}=0\)，特别的，零向量与任何向量平行
2，设 \(\vec{e}_1\)、\(\vec{e}_2\) 是同一平面内两个\textbf{不共线}的向量，那么对于这一平面内的\(\textbf{任意}\)向量 \(\vec{a}\)，\(\textbf{有且只有}\)一对实数 \(\lambda_1\)、\(\lambda_2\)，使得

\[\vec{a} = \lambda_1 \vec{e}_1 + \lambda_2 \vec{e}_2 \]

3，求夹角

\[\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \]

4，判定垂直

\[\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]

5，求投影（a在b方向上的投影数量）

\[{\text{投影} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}} \]

6，进阶,极化恒等式

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{4} \left( |\vec{a} + \vec{b}|^2 - |\vec{a} - \vec{b}|^2 \right) \]

题1：
已知\(\triangle ABC\)是边长为\(2\)的正三角形，平面上两动点\(O,P\)满足$ \overrightarrow{OP}= λ_1\overrightarrow{OA}+ λ_2\overrightarrow{OB}+ λ_3\overrightarrow{OC}(λ_1+λ_2+λ_3=1$且\(λ_1,λ_2,λ_3\ge 0)\)。若\(|\overrightarrow{OP}|=1\)，则\(\overrightarrow{OA}\bullet\overrightarrow{OB}\)最大值为_________。
\(Trick1\)：考虑极化恒等式，令\(D\)为\(AB\)中点\(\overrightarrow{OA}\bullet\overrightarrow{OB}=(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA})(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DB})=(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA})(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{DA})=\overrightarrow{OD}^2-\overrightarrow{OA}^2\)
\(Trick2\)：根据平面向量定理，因为\(λ_1+λ_2+λ_3=1\)，所以\(P\)在\(\triangle ABC\) 内。
画个图就得到答案

题2：
点\(P\)在单位圆的内接正八边形\(A_1,A_2...A_8\)的边\(A_1,A_2\)上，则\(\overrightarrow{PA_1}^2+\overrightarrow{PA_2}^2+...+\overrightarrow{PA_8}^2\)的取值范围是__________。
思路：考虑圆心，转换成\(\overrightarrow{OA_i}-\overrightarrow{OP}\)，注意正多边形有\(\sum \overrightarrow{PA_i}=0\)，原式\(=\sum (\overrightarrow{OA_i}-\overrightarrow{OP})^2=\sum\overrightarrow{OA_i}^2-2\overrightarrow{OP}\sum\overrightarrow{OA_i}+\sum\overrightarrow{OP}^2=8+8|OP|^2\)
总结，将变的向量转成不变的\((\)如\(\overrightarrow{OP})\)和有特殊性质的\((\)如\(\overrightarrow{OA_i})\)的和差。
极化恒等式便是这一运用的一个体现。

题3:
在\(P_ABCD\)中，底面\(ABCD\)是平行四边形，\(PC\)中点为\(M\)，点\(S,T\)分别在棱\(PB,PD\)上\(({与}P{不重合})\)，且\(A,M,S,T\)四点共面，设\(\overrightarrow{PS}=x\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PT}=y\overrightarrow{PD}\)，则\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\)

向量法：\(\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AS}+μ \overrightarrow{AT}\)即可
以\(\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AP}\}\)为基底
\(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=λ[x\overrightarrow{AB}+(1-x)\overrightarrow{AD}]+μ[y\overrightarrow{AD}+(1-y)\overrightarrow{AP}]\)
左右列方程解即可。

题4：
已知在\(\triangle ABC\) 中，\(AB=2,AC=4,\angle A=\frac{\pi}{3}\)。\(BC,AC\)边上两条中线\(AM,BN\)交于点\(P\)，求\(\angle MPN\)余弦值？
考虑以\(\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\}\)为基底做就好了。

关于向量我的一些理解：
1，解三角形的更高级工具（有些题相比用正余弦，向量会更快）
2，向量将数与形结合了，且是一种比较无脑的方式（例如建系就是向量的一种应用）
3，培养转化与化归思维,将“空间几何证明”转化为“平面/坐标代数计算”
4，为其他做准备，注意，向量是工具，一定要学好它，线性代数，物理之类的都要用到。