整除分块

前言

  • 最近在学习莫比乌斯反演,发现了一个基本上所有的有关莫比乌斯反演的题目,都涉及到一个小的知识点: 整除分块
  • 所以,在学习莫比乌斯反演之前学会整除分块是很有必要的。
  • 那么,我就来介绍一下整除分块这一内容

整除分块

  • 可以用到整除分块的形式,大致是这样的:
    \[\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\]
  • 这个式子,\(O(n)\)计算是非常显然的。但,有的时候因为多组数据的要求,可能\(O(n)\)并不是正确的时间复杂度。那么这个时候,我们就有一种\(O(\sqrt{n})\)的做法。这就是:整除分块
  • 对于每一个\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)我们可以通过打表(或理性的证明)可以发现:有许多\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)的值是一样的,而且它们呈一个块状分布;再通过打表之类的各种方法,我们惊喜的发现对于每一个值相同的块,它的最后一个数就是\(n/(n/i)\)。得出这个结论后,我们就可以做的\(O(\sqrt{n})\)处理了。
    附一个整除分块的代码吧:
for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
    r=n/(n/l);
    ans+=(r-l+1)*(n/l);
}

与其他函数的联系

  • 有时候,可能推出来的式子不一定就是一个很裸的整除分块,可能会与某些积性函数相乘,如:\(\mu,\varphi\)...... 这时候,我们就需要对这些函数统计一个前缀和。因为,每当我们使用整除分块跳过一个区间的时候,其所对应的函数值也跳过了一个区间。所以此时,就需要乘上那一个区间的函数值。
  • (当然,如果当出题人想要考考你的数论能力的话,这时就不是统计前缀和这么简单了。可能\(O(n)\)线筛都会TLE,那么我们就需要杜教筛了)
  • (PS:关于杜教筛的内容,我没过多久就会写,那时候再填坑吧!)
posted @ 2018-03-27 23:43  pengym  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏
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