ABC242Ex Random Painting 题解

题目描述

给定数轴 \([1,n]\) 上的 \(m\) 个区间 \([l_i,r_i]\) ，每次随机取出一个区间并放回，求期望取多少次后能被取出的区间能覆盖 \([1,n]\) ，对 \(998244353\) 取模。

数据范围

• \(1\le n,m\le 400\) 。
• \(1\le l_i\le r_i\le n,\bigcup_{i=1}^n[l_i,r_i]=[1,n]\) 。

时间限制 \(\texttt{3s}\) ，空间限制 \(\texttt{1GB}\) 。

分析

为数不多的 \(\min-\max\) 容斥题。

先复习一下什么是 \(\min-\max\) 容斥：

\[\max(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T)\\ \]

上式在期望条件下也成立：

\[E(\max S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\min T)\\ \]

本题 \(S=\{i 被覆盖的时刻\mid 1\le i\le n\}\) ，先分析对固定的点集 \(T\) ， \(E(\min T)\) 是什么。

假设有 \(k\) 个区间与 \(T\) 有交，则每次有 \(\frac km\) 的概率选中这样的区间，因此 \(E(\min T)=\frac mk\) 。

接下来用 \(\texttt{dp}\) 统计所有 \(T\) 的贡献。

\(f_{i,k}\) 表示仅考虑前 \(i\) 个位置且 \(i\) 被选， \(r\le i\) 的区间中有 \(k\) 个与 \(T\) 有交的集合 \(T\) ， \((-1)^{|T|+1}\) 之和。

转移枚举上一个被选的位置 \(j\) ，新增区间满足 \(l\le j\lt r\lt i\) 或 \(r=i\) ，二维前缀和统计区间个数即可。

时间复杂度 \(\mathcal O(n^2m)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=405,mod=998244353;
int m,n,res;
int f[maxn][maxn],s[maxn][maxn],inv[maxn];
int qpow(int a,int k)
{
    int res=1;
    for(;k;k>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(k&1) res=1ll*res*a%mod;
    return res;
}
void dec(int &x,int y)
{
    x=x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,l,r;i<=m;i++) scanf("%d%d",&l,&r),s[l][r]++;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) s[i][j]+=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];
    f[0][0]=mod-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            int x=(s[j][i-1]-s[j][j])+(s[i][i]-s[i][i-1]);///l≤j<r<i or r=i 的区间数
            for(int k=x;k<=m;k++) dec(f[i][k],f[j][k-x]);
        }
    for(int k=1;k<=m;k++) inv[k]=qpow(k,mod-2);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x=s[i][n]-s[i][i];///l≤i<r≤n 的区间数
        for(int k=x;k<=m;k++) res=(res+1ll*f[i][k-x]*inv[k])%mod;
    }
    printf("%lld\n",1ll*res*m%mod);
    return 0;
}