P4117 [Ynoi2018] 五彩斑斓的世界 题解

题目描述

给定长为 \(n\) 的序列 \(a\) ， \(m\) 次操作：

• 1 l r x ：将区间 \([l,r]\) 中 \(\gt x\) 的数减去 \(x\) 。
• 2 l r x ：查询区间 \([l,r]\) 中 \(x\) 的出现次数。

数据范围

• \(1\le n\le 10^6,1\le m\le 5\cdot 10^5,1\le l\le r\le n,0\le a_i,x\le 10^5\) 。

时间限制 \(\texttt{7.5s}\) ，空间限制 \(\texttt{64MB}\) 。

分析

不卡空间弱化版： \(\texttt{CF896E}\) 。

容易发现不同下标互相独立，这启示我们用分块维护。

将序列分成 \(\sqrt n\) 块，每一块需要在 \(\mathcal O(m)\) 的时间内支持以下操作：

• 给全局 \(\gt x\) 的数减去 \(x\) 。
• 还原经过若干操作后的序列，从而遇到散块操作直接重构。
• 求区间 \([l,r]\) 中 \(x\) 的出现次数。

容易发现如果不考虑散块操作，两个数在某一时刻相同，意味着此后永远相同，可以用并查集维护每个值的出现下标。

对于修改操作，记操作前序列最大值为 \(v\) 。

• 如果 \(v\ge 2\cdot x\) ，将 \([1,x]\) 合并到 \([x+1,2x]\) 上，打全局减 \(x\) 标记。
• 如果 \(x\le v\lt 2\cdot x\) ，将 \([x+1,v]\) 合并到 \([1,v-x]\) 上。

于是合并次数等于 \(v\) 的减小量，所以复杂度是对的。

散块重构直接暴力 find 求出每个点的权值即可，注意不要把重构复杂度写成 \(\mathcal O(v)\) ，并且需要狠狠地卡散块的常。

具体的，维护 vis 数组表示每个数是否出现（这些位置满足并查集的根为自己），重构时先求出所有点的真实值，再单独修改散块内的位置即可。

对于询问操作，我们需要在并查集中维护每个连通块的 sz 。

本题的并查集询问操作很特殊，每次查询所有点所在的连通块。

因此可以分析到均摊\(\mathcal O(1)\)，因为每条边只会被路径压缩一次。

时间复杂度 \(\mathcal O(n+(m+v)\sqrt n)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5,B=1000;
int m,n;
int a[maxn],f[maxn],sz[maxn],res[maxn];
bitset<maxn> vis;
struct oper
{
    int op,l,r,x;
}q[maxn];
inline int read()
{
    int q=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) q=10*q+ch-'0',ch=getchar();
    return q;
}
int find(int x)
{
    if(f[x]==x) return x;
    return f[x]=find(f[x]);
}
void merge(int u,int v)
{
    if(!vis[u]) return ;
    if(!vis[v]) f[v]=v,sz[v]=0,vis[v]=1;
    f[u]=v,sz[v]+=sz[u],vis[u]=0;
}
inline void work(int s,int t)
{
    vis.reset();
    for(int i=s;i<=t;i++) f[a[i]]=a[i],sz[a[i]]=0,vis[a[i]]=1;
    for(int i=s;i<=t;i++) sz[a[i]]++;
    int v=*max_element(a+s,a+t+1);
    for(int i=1,tag=0;i<=m;i++)
    {
        int op=q[i].op,l=q[i].l,r=q[i].r,x=q[i].x;
        if(l>t||r<s||v<x) continue;
        if(op==1)
        {
            if(l<=s&&t<=r)
            {
                if(v>=2*x)
                {
                    for(int j=1;j<=x;j++) merge(tag+j,tag+x+j);
                    tag+=x,v-=x;
                }
                else
                {
                    for(int j=1;j<=v-x;j++) merge(tag+x+j,tag+j);
                    v=x;
                }
            }
            else
            {
                for(int j=s;j<=t;j++) a[j]=find(a[j]);
                for(int j=max(s,l),tmp=min(t,r);j<=tmp;j++)
                {
                    int &u=a[j];
                    if(u-tag<=x) continue;
                    vis[u]=--sz[u];
                    if(!vis[u-=x]) f[u]=u,sz[u]=0,vis[u]=1;
                    sz[u]++;
                }
            }
        }
        else
        {
            if(l<=s&&t<=r) res[i]+=vis[tag+x]?sz[find(tag+x)]:0;
            else for(int j=max(s,l),tmp=min(t,r);j<=tmp;j++) res[i]+=find(a[j])-tag==x;
        }
    }
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++) q[i].op=read(),q[i].l=read(),q[i].r=read(),q[i].x=read();
    for(int s=1,t=0;s<=n;s=t+1) work(s,t=min(s+B-1,n));
    for(int i=1;i<=m;i++) if(q[i].op==2) printf("%d\n",res[i]);
    return 0;
}