P4318 完全平方数 题解

题目描述

\(T\) 组询问，求第 \(k\) 小的不含大于 \(1\) 的完全平方因子的数。

数据范围

• \(1\le T\le 50,1\le k\le 10^9\) 。

时间限制 \(\texttt{1s}\) ，空间限制 \(\texttt{125MB}\) 。

分析

二分答案，问题转化为求莫比乌斯函数平方的前缀和。

注意二分上界为 \(k=10^9\) 的答案，即 \(1644934081\) ，而不是 \(10^9\) 。

接下来就有两条路可走了。

杜教筛

记 \(f(x)=\mu^2(x)\) ，杜教筛的核心就是找一个合适的 \(g\) ，使得 \(g\) 和 \(f*g\) 的前缀和都很好求。

对于本题，取 \(g(x)=[x为完全平方数]\) 。

那么 \((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac nd)=1\) ，这是因为当且仅当 \(\frac nd\) 为 \(n\) 的最大平方因子时， \(f(d)g(\frac nd)=1\) ，其余全为零。

记 \(S(n)=\sum_{x=1}^nf(x)\) ，根据杜教筛套路：

\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(n)-\sum_{i=2}^n g(i)S(\lfloor\frac ni\rfloor) \]

对于本题而言：

\[S(n)=n-\sum_{i=2}^ng(i)S(\lfloor\frac ni\rfloor) \]

\(g(x)\) 前缀和很好求，所以可以继续按照杜教筛的套路往下推，但是本题没有必要。

注意到 \(g(x)\) 只有 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 个位置非零，即：

\[S(n)=n-\sum_{i=2}^{\sqrt n}S(\lfloor\frac n{i^2}\rfloor) \]

枚举 \(i\) 向下递归即可，时间复杂度与杜教筛相同，为 \(\mathcal O(Tk^\frac 23)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1.5e6+5;
int k,t;
int b[maxn],p[maxn],h[maxn];
unordered_map<int,int> s;
void init(int n)
{
    h[1]=1;
    for(int i=2,cnt=0;i<=n;i++)
    {
        if(!b[i]) p[++cnt]=i,h[i]=1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++)
        {
            b[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
            h[i*p[j]]=h[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) h[i]+=h[i-1];
}
int calc(int n)
{
    if(n<=maxn-5) return h[n];
    if(s.count(n)) return s[n];
    int res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++) res-=calc(n/(i*i));
    return s[n]=res;
}
int main()
{
    scanf("%d",&t),init(maxn-5);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&k);
        int l=0,r=2e9;
        while(r-l>1)
        {
            int mid=(0ll+l+r)>>1;
            calc(mid)>=k?r=mid:l=mid;
        }
        printf("%d\n",r);
    }
    return 0;
}

容斥

对于每个 \(x\) ，注意到 \(\sum_{d|n}\mu(d)=1\) ，我们希望在 \(x\) 的每个平方因子 \(d^2\) 处统计 \(\mu(d)\) 的贡献。

因此 \(\mu^2(x)=\sum_{d^2|x}\mu(d)\) ，对于 \(\mu^2(x)\) 的前缀和：

\[\sum_{x=1}^n\mu^2(x)=\sum_{x=1}^n\sum_{d^2|x}\mu(d) =\sum_{d=1}^{\sqrt n}\mu(d)\lfloor\frac n{d^2}\rfloor \]

时间复杂度 \(\mathcal O(T\sqrt k\log k)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e4+5;
int k,t;
int b[maxn],p[maxn],mu[maxn];
void init(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2,cnt=0;i<=n;i++)
    {
        if(!b[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++)
        {
            b[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int calc(int n)
{
    int res=0;
    for(int i=1;i*i<=n;i++) res+=n/(i*i)*mu[i];
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d",&t),init(maxn-5);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&k);
        int l=0,r=2e9;
        while(r-l>1)
        {
            int mid=(0ll+l+r)>>1;
            calc(mid)>=k?r=mid:l=mid;
        }
        printf("%d\n",r);
    }
    return 0;
}