ICPC2021台北 CF103443K Insertion Array 题解

题目描述

\(T\) 组数据，给定字符串 \(a,b\) ，记 \(|a|=n,|b|=m\) 。

对 \(\forall 0\le x\le m\) ，记第 \(x\) 个字符串为 \(b[1\sim x]+a+b[x+1\sim m]\) 。

记将这 \(m\) 个字符串按照字典序排序后，排名为 \(i\) 的是第 \(c_i\) 个字符串。

求 \(\big(\sum_{i=0}^mc_i\cdot 1234567^i\big)\bmod(10^9+7)\) 的值。

数据范围

• \(1\le T\le 4\cdot 10^4,1\le\sum n,\sum m\le 2\cdot 10^6\) 。

时间限制 \(\texttt{3s}\) ，空间限制 \(\texttt{1GB}\) 。

分析

冷知识： \(4\cdot 10^6\) 的后缀数组要跑 \(\texttt{2s}\) 。

我们只需要做到快速比较两个字符串字典序，外面套个 sort 的壳子即可。

假设正在比较第 \(x,y\) 个字符串，不妨 \(x\le y\) 。

画一下图就知道我们需要对 \(y-x\) 和 \(n\) 的大小关系分类讨论。

如果 \(y-x\le n\) （相交），需要依次进行三轮比较：

• \(a[1\sim y-x]\) 与 \(b[x+1\sim y]\) 。
• \(a[y-x+1\sim n]\) 与 \(a[1\sim n-(y-x)]\) 。
• \(b[x+1\sim y]\) 与 \(a[n-(y-x)+1\sim n]\) 。

如果 \(y-x\gt n\) （相离），也需要进行三轮比较：

• \(a[1\sim n]\) 与 \(b[x+1\sim x+n]\) 。
• \(b[x+1\sim y-n]\) 与 \(b[x+n+1\sim y]\) 。
• \(b[y-n+1\sim y]\) 与 \(a[1\sim n]\) 。

容易想到哈希 + 二分或者后缀数组求 \(\texttt{lcp}\) ，然而都过不去。

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我们希望第一轮比较能得出前 \(y-x\) 个字符的 \(\texttt{lcp}\) 。

对于相离的情况，如果前 \(n\) 个字符相同（也就是会进入第二轮比较），根据传递性，接下来等效于用 \(b[x+n+1]\) 开始的前 \(n\) 个字符和 \(a\) 继续比较，以此类推。

将 \(a\) 复制若干次直到长度 \(\ge m\) ，再拼上一个字符串 \(b\) ，跑 \(\text{EXKMP}\) ，这样 \(b[x+1]\) 开头的后缀与整串的 \(\texttt{lcp}\) 即为所求。

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我们希望第二轮比较能得出后 \(x\) 个字符的 \(\texttt{lcp}\) 。

由于第一轮比较没有出结果，所以第 \(x\) 个字符串相当于将若干个 \(a\) 拼起来再删掉前 \(y-x\) 个字符，而第 \(y\) 个字符串刚好就是 \(a\) ，因此答案为第 \(y-x+1\) 个字符开头的后缀与整串的 \(\texttt{lcp}\) 。

时间复杂度 \(\mathcal O(n+m\log m)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=8e6+5,mod=1e9+7;
int k,m,n,t,now,res;
int c[maxn],nxt[maxn];
char a[maxn],b[maxn],s[maxn];
bool cmp(int x,int y)
{
    int l=0,op=0;
    if(x>y) swap(x,y),op=1;
    if((l=nxt[now+x+1])<y-x) return (s[l+1]<s[now+x+l+1])^op;
    if((l=nxt[y-x+1])<n) return (s[y-x+l+1]<s[l+1])^op;
    return op;
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%s%s",a+1,b+1),n=strlen(a+1),m=strlen(b+1),k=res=0;
        while(k<=n+m) for(int i=1;i<=n;i++) s[++k]=a[i];
        now=k;
        for(int i=1;i<=m;i++) s[++k]=b[i];
        s[k+1]='#';
        for(int i=1;i<=k;i++) nxt[i]=0;
        for(int i=2,pos=0,mxr=0;i<=k;i++)
        {
            if(i<=mxr) nxt[i]=min(nxt[i-pos+1],mxr-i+1);
            while(s[i+nxt[i]]==s[nxt[i]+1]) nxt[i]++;
            if(i+nxt[i]-1>mxr) pos=i,mxr=i+nxt[i]-1;
        }
        for(int i=0;i<=m;i++) c[i]=i;
        res=0,sort(c,c+m+1,cmp);
        for(int i=m;i>=0;i--) res=(1234567ll*res+c[i])%mod;
        printf("%d\n",res);
    }
    return 0;
}