CF1746F Kazaee 题解

题目描述

给定一个长为 \(n\) 的数组 \(a\) ， \(q\) 次操作：

• 1 i x ：将 \(a_i\) 修改为 \(x\) 。
• 2 l r k ：询问区间 \([l,r]\) 内是否每个数字的出现次数均为 \(k\) 的倍数。

数据范围

• \(1\le n,q\le 3\cdot 10^5,1\le a_i,x\le 10^9\) 。

时间限制 \(\texttt{3s}\) ，空间限制 \(\texttt{256MB}\) 。

分析

随机化，给每个数字赋随机权值 \(key\) ，统计 \(M=\sum_{i=l}^rkey_{a_i}\) 。

如果所有数字出现次数均为 \(k\) 的倍数，显然有 \(k\mid M\) 。

否则可以认为 \(k\mid M\) 的概率为 \(\frac 1k\) ，随机 \(30\) 次后错误概率 \((\frac 1k)^{30}\lt 10^{-9}\) 。

将出现过的数字离散化，树状数组维护 \(M\) 。

时间复杂度 \(\mathcal O(30(n+q)\log n)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=6e5+5;
int m,n,q;
int a[maxn],c[maxn];
int k[maxn],l[maxn],r[maxn],op[maxn];
mt19937 rnd(time(0));
struct node
{
    int w[maxn];
    ll c[maxn];
    inline void add(int x,int v)
    {
        while(x<=n) c[x]+=v,x+=x&(-x);
    }
    inline ll sum(int x)
    {
        ll res=0;
        while(x) res+=c[x],x-=x&(-x);
        return res;
    }
    inline ll query(int l,int r)
    {
        return sum(r)-sum(l-1);
    }
    inline void modify(int p,int v)
    {
        add(p,-w[a[p]]),add(p,w[v]);
    }
    inline void init()
    {
        for(int i=1;i<=m;i++) w[i]=rnd()&((1<<30)-1);
        for(int i=1;i<=n;i++) add(i,w[a[i]]);
    }
}t[30];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),c[++m]=a[i];
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        scanf("%d",&op[i]);
        if(op[i]==1) scanf("%d%d",&l[i],&k[i]),c[++m]=k[i];
        else scanf("%d%d%d",&l[i],&r[i],&k[i]);
    }
    sort(c+1,c+m+1);
    m=unique(c+1,c+m+1)-c-1;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(c+1,c+m+1,a[i])-c;
    for(int j=0;j<30;j++) t[j].init();
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        if(op[i]==1)
        {
            int pos=l[i],val=lower_bound(c+1,c+m+1,k[i])-c;
            for(int j=0;j<30;j++) t[j].modify(pos,val);
            a[pos]=val;
        }
        else
        {
            int flg=1;
            for(int j=0;j<30;j++) flg&=t[j].query(l[i],r[i])%k[i]==0;
            printf(flg?"YES\n":"NO\n");
        }
    }
    return 0;
}