P5824 十二重计数法 题解
题目描述
将 \(n\) 个球装进 \(m\) 个盒子，对如下 \(12\) 种限制条件，分别计算方案数，对 \(998244353\) 取模。
- 球互不相同，盒子互不相同。
- 球互不相同，盒子互不相同，每个盒子至多装一个球。
- 球互不相同，盒子互不相同，每个盒子至少装一个球。
- 球互不相同，盒子全部相同。
- 球互不相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。
- 球互不相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。
- 球全部相同，盒子互不相同。
- 球全部相同，盒子互不相同，每个盒子至多装一个球。
- 球全部相同，盒子互不相同，每个盒子至少装一个球。
- 球全部相同，盒子全部相同。
- 球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。
- 球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。
数据范围
- \(1\le n,m\le 2\cdot 10^5\) 。
时间限制 \(\texttt{2s}\) ，空间限制 \(\texttt{256MB}\) 。
分析
一、球不同，盒子不同，无其他限制
每个球有 \(m\) 种选法，并且不同的球之间互相独立，答案为 \(m^n\) 。
二、球不同，盒子不同，每个盒子至多装一个球
第 \(i\) 个球有 \(m-i+1\) 种选法，答案为 \(m^\underline n\) 。
三、球不同，盒子不同，盒子非空
容斥，枚举 \(k\) 个盒子为空，答案为 \(\sum_{k=0}^m(-1)^k\binom mk(m-k)^n\) 。
四、球不同，盒子相同，无其他限制
枚举 \(k\) 个盒子非空，根据第二类斯特林数的定义，答案为 \(\sum_{k=0}^m\begin{Bmatrix}n\\k\\\end{Bmatrix}\) 。
五、球不同，盒子相同，每个盒子至多装一个球
每个球无论装入哪个盒子效果都一样，答案为 \([n\le m]\) 。
六、球不同，盒子相同，盒子非空
根据第二类斯特林数的定义，答案为 \(\begin{Bmatrix}n\\m\\\end{Bmatrix}\) 。
七、球相同，盒子不同，无其他限制
等价于求 \(\sum_{i=1}^mx_i=n\) 的非负整数解个数，答案为 \(\binom{n+m-1}{m-1}\) 。
八、球相同，盒子不同，每个盒子至多装一个球
从 \(m\) 个盒子中选 \(n\) 个放球即可，答案为 \(\binom mn\) 。
九、球相同，盒子不同，盒子非空
等价于求 \(\sum_{i=1}^mx_i=n\) 的正整数解个数，答案为 \(\binom{n-1}{m-1}\) 。
十、球相同，盒子相同，无其他限制
等价于求将 \(n\) 划分为 \(m\) 个自然数之和的方案数，记为 \(p_{n,m}\) 。
维护一个可重集，每次 push 一个零或者给集合中全体数加一，可得转移方程：
\[p_{n,m}=p_{n,m-1}+p_{n-m,m}\\
\]
将第一维压入生成函数，记 \(f_i(x)=\sum_{n=0}^\infty p_{n,i}\cdot x^i\) 。
容易得出递推式：
\[f_i(x)=f_{i-1}(x)\cdot(1+x^i+x^{2i}+\cdots)\\
\]
类比付公主的背包，继续推式子：
\[\begin{aligned}
f_m(x)&=\prod_{i=1}^m\frac1{1-x^i}\\
&=\exp(\sum_{i=1}^m-\ln(1-x^i))\\
&=\exp(\sum_{i=1}^m\sum_{k=1}^\infty\frac1kx^{ki})\\
\end{aligned}
\]
最后输出 \([x^n]f_m(x)\) 即可。
十一、球相同，盒子相同，每个盒子至多装一个球
同第五种情况，答案为 \([n\le m]\) 。
十二、球相同，盒子相同，盒子非空
从每个盒子中删掉一个球，再套用第十种情况的结论，答案为 \([x^{n-m}]f_m(x)\) 。
时间复杂度 \(\mathcal O(n\log n+n\log m)\) 。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1<<19,mod=998244353;
int m,n;
int a[maxn],b[maxn],s[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
inline int qpow(int a,int k)
{
int res=1;
for(;k;a=1ll*a*a%mod,k>>=1) if(k&1) res=1ll*res*a%mod;
return res;
}
inline int add(int x,int y) {return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
inline int dec(int x,int y) {return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
namespace Poly
{
int p[maxn],q[maxn],r[maxn],w[maxn];
int inum[maxn];
inline int extend(int n) {return n!=1?1<<(__lg(n-1)+1):1;}
inline void get_r(int n) {for(int i=0;i<n;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);}
static auto init=[]()
{
for(int k=2,m=1;k<=maxn;k<<=1,m<<=1)
{
w[m]=1;
for(int i=m+1,x=qpow(3,(mod-1)/k);i<k;i++) w[i]=1ll*w[i-1]*x%mod;
}
for(int i=1;i<maxn;i++) inum[i]=qpow(i,mod-2);
return 0;
}();
inline void print(int *a,int n) {for(int i=0;i<n;i++) printf("%d%c",a[i]," \n"[i==n-1]);}
void ntt(int *a,int n,int x)
{
for(int i=0;i<n;i++) if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
for(int k=2,m=1;k<=n;k<<=1,m<<=1)
for(int i=0;i<n;i+=k)
for(int j=i,*x=w+m;j<i+m;j++,x++)
{
int v=1ll*a[j+m]**x%mod;
a[j+m]=dec(a[j],v),a[j]=add(a[j],v);
}
if(x==-1)
{
reverse(a+1,a+n);
for(int i=0,v=qpow(n,mod-2);i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*v%mod;
}
}
void mul(int *a,int *b,int n,int m)
{
if(!n||!m) return ;
int len=extend(n+m-1);
for(int i=0;i<len;i++) p[i]=i<n?a[i]:0,q[i]=i<m?b[i]:0;
get_r(len),ntt(p,len,1),ntt(q,len,1);
for(int i=0;i<len;i++) a[i]=1ll*p[i]*q[i]%mod;
ntt(a,len,-1);
}
void inv(int *a,int *b,int n)
{
static int c[maxn],d[maxn];
n=extend(n),memset(b,0,4*n),b[0]=qpow(a[0],mod-2);
for(int k=2;k<=n;k<<=1)
{
for(int i=0;i<k<<1;i++) c[i]=i<k?a[i]:0,d[i]=i<k>>1?b[i]:0;
get_r(k),ntt(d,k,1);
for(int i=0;i<k;i++) d[i]=1ll*d[i]*d[i]%mod;
ntt(d,k,-1),get_r(k<<1),ntt(c,k<<1,1),ntt(d,k<<1,1);
for(int i=0;i<k<<1;i++) c[i]=1ll*c[i]*d[i]%mod;
ntt(c,k<<1,-1);
for(int i=0;i<k;i++) b[i]=(2ll*b[i]-c[i]+mod)%mod;
}
}
void diff(int *a,int *b,int n)
{
for(int i=1;i<n;i++) b[i-1]=1ll*i*a[i]%mod;
b[n-1]=0;
}
void integ(int *a,int *b,int n)
{
for(int i=1;i<n;i++) b[i]=1ll*inum[i]*a[i-1]%mod;
b[0]=0;
}
void ln(int *a,int *b,int n)
{
static int c[maxn],d[maxn];
assert(a[0]==1);
n=extend(n),inv(a,c,n),diff(a,d,n),mul(c,d,n,n),integ(c,b,n);
}
void exp(int *a,int *b,int n)
{
static int c[maxn];
assert(a[0]==0);
n=extend(n),memset(b,0,4*n),memset(c,0,4*n),b[0]=1;
for(int k=2;k<=n;k<<=1)
{
ln(b,c,k);
for(int i=0;i<k;i++) c[i]=dec(a[i],c[i]);
c[0]++,mul(b,c,k,k);
}
}
}
void init(int n)
{
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
inv[n]=qpow(fac[n],mod-2);
for(int i=n;i>=1;i--) inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mod;
}
inline int c(int n,int m)
{
return n>=m?1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod:0ll;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m),init(n+m);
for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=(i&1?mod-1ll:1)*inv[i]%mod,b[i]=1ll*qpow(i,n)*inv[i]%mod;
Poly::mul(a,b,n+1,n+1),memcpy(s,a,4*(n+1));///第二类斯特林数
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<=m;i++) for(int j=i;j<=n;j+=i) a[j]=add(a[j],Poly::inum[j/i]);
Poly::exp(a,b,n);///f_m(x)
for(int x=1;x<=12;x++)
{
if(x==1) printf("%d\n",qpow(m,n));
if(x==2) printf("%d\n",n<=m?1ll*fac[m]*inv[m-n]%mod:0);
if(x==3)
{
int res=0;
for(int i=0;i<=m;i++) res=(res+(i&1?-1ll:1ll)*c(m,i)*qpow(m-i,n))%mod;
printf("%d\n",add(res,mod));
}
if(x==4)
{
int res=0;
for(int i=0;i<=m;i++) res=add(res,s[i]);
printf("%d\n",res);
}
if(x==5) printf("%d\n",n<=m);
if(x==6) printf("%d\n",s[m]);
if(x==7) printf("%d\n",c(n+m-1,m-1));
if(x==8) printf("%d\n",c(m,n));
if(x==9) printf("%d\n",c(n-1,m-1));
if(x==10) printf("%d\n",b[n]);
if(x==11) printf("%d\n",n<=m);
if(x==12) printf("%d\n",n>=m?b[n-m]:0);
}
return 0;
}
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