P4007 小 Y 和恐怖的奴隶主 题解

题目描述

初始 Boss 有一个生命值为 \(m\) 的随从，你可以进行 \(n\) 次攻击，每次从 Boss 及其随从中等概率选择一个，并扣减一点生命值。

如果当前随从数量小于 \(k\) ，攻击某个随从且没有造成死亡，那么会重新召唤一个生命值为 \(m\) 的随从。

\(T\) 次询问，给定 \(n\) ，求对 Boss 造成的伤害的期望值。

数据范围

• \(1\le T\le 10^3,1\le n\le 10^{18},1\le m\le 3,1\le k\le 8\) 。

时间限制 \(\texttt{2s}\) ，空间限制 \(\texttt{512MB}\) 。

分析

先考虑一个期望 \(\texttt{dp}\) 。

\(f_{i,a,b,c}\) 表示当前进行 \(i\) 次攻击，血量为 \(1,2,3\) 的随从分别有 \(a,b,c\) 个的概率。

为统计答案，新开一个变量 res 记录对 Boss 造成伤害的期望即可。

注意到 \(a+b+c\le8\) ，因此合法的三元组 \((a,b,c)\) 数量不超过 \(\binom{11}3=165\) 。

由于相邻层之间的转移固定，考虑矩阵快速幂。

我们需要记录所有三元组 \((a,b,c)\) 和 res ，总状态数 \(166\) 。

使用向量乘矩阵的 trick ，时间复杂度 \(\mathcal O(166^3\log n+T166^2\log n)\) 。

卡常小技巧：矩乘乘法时，用 __int128 存储中间变量，可以大幅减少取模次数。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=170,mod=998244353;
int k,m,t,u;
int id[9][9][9];
ll n,f[maxn][maxn];
struct vec
{
    int v[maxn];
}cur,res;
struct mat
{
    int v[maxn][maxn];
}pw[60];
inline vec operator*(const vec &a,const mat &b)
{
    static vec c;
    for(int i=1;i<=u;i++)
    {
        __int128 res=0;
        for(int j=1;j<=u;j++) res+=1ll*a.v[j]*b.v[j][i];
        c.v[i]=res%mod;
    }
    return c;
}
inline mat operator*(const mat &a,const mat &b)
{
    static mat c;
    for(int i=1;i<=u;i++)
        for(int j=1;j<=u;j++)
        {
            __int128 res=0;
            for(int k=1;k<=u;k++) res+=1ll*a.v[i][k]*b.v[k][j];
            c.v[i][j]=res%mod;
        }
    return c;
}
inline int qpow(int a,int k)
{
    int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res=1ll*res*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod,k>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&t,&m,&k);
    for(int a=0;a<=k;a++)
        for(int b=0;b<=(m>=2?k-a:0);b++)
            for(int c=0;c<=(m>=3?k-a-b:0);c++)
                id[a][b][c]=++u;
    ++u,f[u][u]=1;
    for(int a=0;a<=k;a++)
        for(int b=0;b<=k;b++)
            for(int c=0;c<=k;c++)
            {
                int x=id[a][b][c],flg=a+b+c<k,inv=qpow(a+b+c+1,mod-2);
                if(!x) continue;
                f[x][x]+=inv,f[x][u]+=inv;
                if(a) f[x][id[a-1][b][c]]+=1ll*a*inv%mod;
                if(b) f[x][id[a+1][b-1+(flg&&m==2)][c+(flg&&m==3)]]+=1ll*b*inv%mod;
                if(c) f[x][id[a][b+1][c-1+flg]]+=1ll*c*inv%mod;
            }
    for(int i=1;i<=u;i++) for(int j=1;j<=u;j++) pw[0].v[i][j]=f[i][j]%mod;
    for(int i=1;i<60;i++) pw[i]=pw[i-1]*pw[i-1];
    cur.v[id[m==1][m==2][m==3]]=1;
    while(t--)
    {
        scanf("%lld",&n),res=cur;
        for(int i=0;i<60;i++) if(n>>i&1) res=res*pw[i];
        printf("%d\n",res.v[u])%mod;
    }
    return 0;
}