P6276 [USACO20OPEN]Exercise P 题解

题目描述

给定 \(n\) ，求所有长为 \(n\) 的排列置换环长度 \(\text{lcm}\) 之积，保证 \(\bmod\) 为质数。

数据范围

• \(1\le n\le 7500\) 。
• \(10^8\le\bmod\le 10^9+7\) ，保证 \(\bmod\) 为质数。

时间限制 \(\texttt{2s}\) ，空间限制 \(\texttt{500MB}\) 。

分析

记 \(F(x)\) 为 \(x|\text{lcm}\) 的排列个数，则答案为 \(\prod\limits_{p^e\le n}p^{F(p^e)}\) 。

对 \(\forall x=p^e\) 计算 \(F(x)\) 的值，显然需要容斥。

\(f_i\) 表示总环长为 \(i\) ，每个环长均不为 \(x\) 的倍数的排列个数，则 \(F(x)=n!-f_n\) 。

\(g_i\)表示总环长为 \(i\) ，每个环长均为 \(x\) 的倍数的排列个数，则 \(f_i=i!-\sum\limits_{x|j}\binom ijg_jf_{i-j}\) 。

再考虑如何计算 \(g\) 。枚举第一个点所在置换环长度 \(j\) ，从余下 \(i-1\) 个点中选出 \(j-1\) 个与它组成置换环，转移式为 \(g_i=\sum\limits_{j=1}^i\binom{i-1}{j-1}(j-1)!g_{i-j}\) 。

显然只有 \(i|x\) 时才有 \(g_i\neq 0\) ，所以有用的 \(f,g\) 都只有 \(\lfloor\frac nx\rfloor\) 个。

注意 \(F\) 挂在指数上，因此计算 \(f,g\) 时都应该对 \(\text{mod}-1\) 取模。

时间复杂度 \(\mathcal O(\sum\limits_{x=p^e}\frac{n^2}{x^2})=\mathcal O(n^2)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=7505;
int n,p,mod,res=1;
int b[maxn],f[maxn],g[maxn];
int c[maxn][maxn],fac[maxn];
int qpow(int a,int k)
{
    int res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res=1ll*res*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod,k>>=1;
    }
    return res;
}
int calc(int x)
{
    g[0]=1;
    for(int i=x;i<=n;i+=x)
    {
        g[i]=0;
        for(int j=x;j<=i;j+=x) g[i]=(g[i]+1ll*c[i-1][j-1]*fac[j-1]%p*g[i-j])%p;
    }
    for(int i=n%x;i<=n;i+=x)
    {
        f[i]=fac[i];
        for(int j=x;j<=i;j+=x) f[i]=(f[i]-1ll*c[i][j]*g[j]%p*f[i-j]%p+p)%p;
    }
    return (fac[n]-f[n]+p)%p;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&mod),p=mod-1;
    for(int i=0;i<=n;i++) c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%p;
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%p;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(b[i]) continue;
        for(int j=2*i;j<=n;j+=i) b[j]=1;
        for(int j=i;j<=n;j*=i) res=1ll*res*qpow(i,calc(j))%mod;
    }
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}