LOJ3834 「IOI2022」最罕见的昆虫

题目描述

这是一道交互题。

交互库有一个长为 \(n\) 的数组 \(a\) 。

你需要实现以下函数：

• int min_cardinality(int N) ：

  返回数组 \(a\) 中出现次数最少的数的出现次数。

你可以调用以下函数：

• void move_inside(int i) ：

  将 \(a_i\) 加入可重集 \(S\) 。

• void move_outside(int i) ：

  将 \(a_i\) 从 \(S\) 中删除，如果 \(a_i\) 不在 \(S\) 中则不执行任何操作。

• int press_button() ：

  询问 \(S\) 中出现次数最多的数出现次数。

每个函数最多可以调用 \(3n\) 次。

数据范围

• \(1\le n\le 2000\) 。

时间限制 \(\texttt{2s}\) ，空间限制 \(\texttt{2048MB}\) 。

分析

保持集合中每个数最多出现 \(1\) 次，可以用 \(n\) 次操作得到不同颜色种类数，记为 \(k\) 。

二分答案，保持集合中每个数最多出现 \(x\) 次，那么判断答案 \(\ge x\) 等价于判断集合大小是否等于 \(kx\) 。

于是我们得到了一个操作次数 \(\mathcal O(n\log n)\) 的做法。

考虑优化。

• 如果答案 \(<x\) ，那么每种颜色保留 \(x\) 个已经足够，无需需要考虑集合外的数。
• 如果答案 \(\ge x\) ，那么后面二分时不再操作集合内的 \(kx\) 个数。

再来分析一下操作次数。

假设我们已经二分到区间 \([l,r]\) ，那么只需要考虑不超过 \((r-l+1)\cdot k\) 个数。

由于每次二分值域减半，因此操作次数 \(\approx n+(n+\frac n2+\frac n4+\cdots)\approx 3n\) 。

直接交可以获得 \(99pts\) 的成绩，原因是每次二分时，如果 \(l,r\) 奇偶性不同，我们无法恰好取在区间中点。

加上一点随机扰动，每次取 mid=(l+r+(rnd()&1))/2 即可，时间复杂度\(O(n\log n)\)。

有可能需要一个好一点的随机种子。

#include<bits/stdc++.h>
#include"insects.h"
#define add move_inside
#define del move_outside
#define query press_button
using namespace std;
const int maxn=2005;
int k,n;
bool has[maxn],vis[maxn];
mt19937 rnd(998244353);
bool check(int x)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(vis[i]) continue;
        add(i);
        if(query()<=x) has[i]=true;
        else del(i);
    }
    int cnt=0;
    for(int i=0;i<n;i++) cnt+=has[i];
    if(cnt==k*x)
    {
        for(int i=0;i<n;i++) vis[i]|=has[i];
        return true;
    }
    else
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            if(!vis[i]&&has[i]) has[i]=false,del(i);
            else vis[i]=true;
        return false;
    }
}
int min_cardinality(int _n)
{
    n=_n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        add(i);
        if(query()==1) has[i]=vis[i]=true,k++;
        else del(i);
    }
    int l=1,r=n/k+1;
    while(r-l>1)
    {
        int mid=(l+r+(rnd()&1))/2;
        if(check(mid)) l=mid;
        else r=mid;
    }
    return l;
}