P3770 [CTSC2017]密钥 题解

题目描述

一个长为 \(n=2k+1\) 的字符串在环上顺时针排列，由 \(1\) 个 X 、 \(k\) 个 A 、 \(k\) 个 B 组成。

一个字母 A 被称为 "强的" ，当且仅当从 X 沿顺时针走到这个 A ，经过的 A 的数量严格比 B 多。

一个密钥的特征值为 "强的" A 的个数。

给定 \(k,S\) ，你需要解决下面三个问题：

• 给定密钥中所有 A 的位置，若特征值为零，求 X 的位置。
• 给定密钥中所有 A 的位置，若特征值为 \(S\) ，求 X 的位置。
• 给定密钥中所有 B 的位置，若特征值为 \(S\) ，求 X 的位置。

数据范围

• \(0\le S\le k\le 10^7\) 。

时间限制 \(\texttt{1s}\) ，空间限制 \(\texttt{500MB}\) 。

分析

先考虑暴力怎么做。

把 A 当成 +1 ， B 当成 -1 ，枚举 X 的位置，统计 A 位置前缀和为正的数目。

考虑每次将 X 从 \(i-1\) 移到 \(i\) ，前缀和数组的变化。

初始把所有不是 A 的位置都当成 B 。

我们认为 X 的存在仅仅是 "掩盖" 了一个（全局）前缀和，但不会对数组造成影响。

比如原数组为 ABBAB ，当 X 位于第三个位置时，需要考虑的字符串（从第四个字符开始）为 A,AB,ABA,ABAB ，但 ABABB 被 X 掩盖了。其中只有 A,ABA 以 A 结尾，所以需要被统计。

手玩发现，我们需要删除前缀和 \([i,i]\) 的贡献，加入全局前缀和 \([i,i-1]\) 的贡献，再将所有前缀和减去字符 \(p_i\) 的贡献。

要求支持全局 +1,-1 ，单点修改，统计正数个数，维护一个桶即可。

对于第三问，当然可以按照上面的方法再写一遍，寻找 X 使得前缀和为负的 B 个数恰好为 \(S\) ，但是没必要。

我们可以将给定的位置视为 A ，要求特征值为 \(k-S\) 。

这是因为前缀和 \(\gt 0\) 的 +1 个数与前缀和 \(\lt 0\) 的 -1 个数等于 \(k\) 。

第三问限制后者数量为 \(S\) ，因此前者数量为 \(k-S\) 。

时间复杂度 \(\mathcal O(n)\) 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e7+5;
int k,n,s,cnt,seed;
int p[maxn],num[3],res[3];
int tmp[maxn],*a=tmp+maxn/2;
int getrand()
{
    seed=((seed*12321)^9999)%32768;
    return seed;
}
void init()
{
    int t=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=getrand()>>7&1,t+=p[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(t>k&&p[i]) p[i]=0,t--;
        if(t<k&&!p[i]) p[i]=1,t++;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&k,&seed,&s),n=2*k+1;
    num[1]=s,num[2]=k-s,init();
    for(int i=2,cur=0;i<=n;i++)
    {
        cur+=p[i]?1:-1,a[cur]+=p[i];
        cnt+=cur>0&&p[i];
    }
    if(!p[1]) for(int j=0;j<=2;j++) if(cnt==num[j]) res[j]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        cnt-=p[i],a[p[i]]-=p[i],a[-1]+=p[i-1];
        if(p[i]) cnt-=a[1],a++;
        else
        {
            cnt+=a[0],a--;
            for(int j=0;j<=2;j++) if(cnt==num[j]) res[j]=i;
        }
    }
    for(int j=0;j<=2;j++) printf("%d\n",res[j]);
    return 0;
}