数字信号处理 － Chap7 DFT和FFT （2）与傅里叶变换和傅里叶级数的关系

7.2与傅里叶变换的关系

傅里叶变换、DTFT和DFT的关系可通过下面介绍的计算信号DFT的三个步骤来说明

步骤1 时域采样

1）c1采样信号是时域中的原信号a1和采样序列b1相乘得到；其频谱c2是原信号频谱a2和采样序列频谱b2在频域的卷积，这就是DTFT。

2）c2含有a2基本傅里叶变换的多个副本，同时受到量化和频率混叠产生误差的影响，这些误差最终会延续到DFT。

                      

步骤2 时域加窗：由于计算机不能处理无限多采样值，因此时域采样信号必须加窗。

1）加窗信号e1是时域采样信号c1和窗函数d1相乘的结果；时域相乘对应频域卷积，加窗信号的DTFT为e2

2）由于窗的频谱中振铃的不均匀性，因此加窗是DFT误差的又一来源。

 

                      

                      

步骤3 频域采样：由于e2的周期频谱是连续的，不利于计算机处理，因此频谱也必须采样

1）g2频谱采样是e2频谱与f2脉冲序列相乘的结果，这就是DFT

2）频域相乘对应时域卷积，因此g1DFT逆变换是e1时域加窗采样信号与f1脉冲序列卷积的结果，它是周期为N的离散信号。卷积在时域中每个脉冲处产生一个加窗信号的副本，这个信号就是逆DFT。它在窗内忠实于原信号，窗外则与原信号无关。

                     

总结：

1）虽然存在频谱混叠、量化、加窗引起的误差，但g2DFT非常逼近a2原信号频谱

2）DFT恰好在N个地方逼近原频谱，N是时域采样个数。

7.3 与傅里级数的关系

                  

1）DFS分析的是自然的周期信号；DFT分析的是周期或非周期信号的加窗部分

2）周期信号的幅度频谱可由DFS系数 ，也可由DFT的幅度频谱 求得，且结果相同