分治思想

分支策略的基本思想：

第一步：将原始问题划分（分成两个或几个不同的部分或步骤）或者归结（归纳总结出普遍适用的解法）为规模较小的子问题

第二步：递归或迭代(iterative) 

*迭代（递推+倒推）：

确定变量

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

建立关系式

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

过程控制

在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。

第三步：将子问题的解综合得到原问题的解

三注意：

1. 子问题与原始问题性质完全一样：递归基础

2. 子问题之间可彼此独立的求解：不受其他子问题干扰

3. 递归停止时子问题可以直接求解：子问题足够小

 

分支策略的典型例子：

1. 二分查找

中心思想：通过x与中位数的比较，将原问题归结为规模为n/2的子问题

递归法：

int binary_search(int l, int r, int x){
    if(l == r) return 0;
    int m=(l+r)/2;
    if(a[m] == x) return m;
    else if(a[m] > x)binary_search(l,m,x);
    else if(a[m] < x)binary_search(m+1,r,x);
}
int main(){
    ...
    binary_search(1,n,x);
    ...
}

递推法：

l=1;
r=n;
while(l<=r){
    m=(l+r)/2;
    if(a[m]==x){
        printf("%d",m);
        break;
    }
    else if(T[m]>x)r=m-1;
    else l=m+1;
}

二分查找最坏情况下时间复杂度：

W(n) = W(n/2) + 1 

W(1) = 1

可以解出：

W(n) = log(n) + 1

 

2. 归并排序

中心思想：将原问题归结为规模为n/2的2个子问题

来源：http://open.163.com/movie/2010/3/D/8/M6U6LS8CV_M6U6NS2D8.html（哈佛CS50公开课）

On input of n elements:

　　if n < 2

　　　　Return.

　　else:

　　　　Sort left halfof elements.

　　　　Sort right half of elements.

　　　　Merge sorted halves.

/*

   做实事的merge
   算法中心
   "Conquer"

*/
void merge(int l, int m, int r){
    int i=l,j=m+1;
    int k=l;
    while(i<=m && j<=r){
        if(a[i]<a[j])tmp[k++]=a[i++];
        else tmp[k++]=a[j++];
    }
    while(i<=m)tmp[k++]=a[i++];
    while(j<=r)tmp[k++]=a[j++]; //not j<=n!!!
    for(i=l;i<=r;i++)
     a[i]=tmp[i];
}
/*
   
   并未做实事
   "Divide"

*/
void merge_sort(int l, int r){
    if(l == r) return;
    int m=(l+r)/2;
    merge_sort(l,m);
    merge_sort(m+1,r);
    merge(l,m,r);
}
int main(){
    ...
    merge_sort(1,n);
    ...
}

归并排序最坏情况下时间复杂度：

W(n) = 2W(n/2) + n-1

W(1) = 0

可以解出：

W(n) = nlog(n) - n + 1

 

3. 汉诺塔问题

中心思想: 将原问题归结为规模为n-1的2个子问题i.e. 从A到B和从B到C

伪代码：

来源：https://class.coursera.org/algorithms-001/lecture/47 （北京大学算法设计与分析公开课）

Hanoi(A, C, n) //n个盘A到C

if(n=1) then move(A, C) //1个盘A到C

else Hanoi(A, B, n-1)

       move(A,C)

       Hanoi(B, C, n-1)