CF494C Helping People 题解
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Description.
有一个长度为 \(n\) 的区间和 \(q\) 个询问。
对于每个区间有 \(p_i\) 的概率区间 \(+1\)，有 \(1-p_i\) 概率 \(-1\)。
问最后最大值的期望。
保证区间互不相交。
Solution.
感觉该想到的都想到了
但是就是最后没做出来
枚举最大值，发现只可能是 \([mx,mx+q]\) 范围内。
然后差分，变成求 所有数都 \(\le mx+w\) 的概率。
然后 dp，表示为 \(x\) 点 \(\le mx+k\) 的概率。
因为区间不交，所以直接建树，树上 dp。
转移就考虑所有儿子互不干扰，所以直接乘积即可。
然后就做完了哈哈哈哈哈哈哈哈
Coding.
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//是啊，你就是那只鬼了，所以被你碰到以后，就轮到我变成鬼了{{{
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
x=0;char c=getchar(),f=0;
for(;c<48||c>57;c=getchar()) if(!(c^45)) f=1;
for(;c>=48&&c<=57;c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
f?x=-x:x;
}
template<typename T,typename...L>inline void read(T &x,L&...l) {read(x),read(l...);}//}}}
//枚举最大值，只可能有 5000 个
//差分，当前答案就是所有数 <= mx 的概率 - 所有数 <= mx-1 的概率
//关键应该在那个限制：树型结构
//然后相当于要求所有数 <=mx 的概率，这个相当于就是一个点到根路径上选不超过 k 个的问题
//发现不能对点来统计概率
//我们可以用 dp 表示它和它父亲选 k 个的概率
//然后 dp[x] 就枚举当前这个转移即可
//发现所有孩子之间是毫不相干的，所以可以直接乘法转移
typedef long double ld;const int N=100005;int n,m,a[N],bz[N][20],lg[N],st[N],tp,mx[5005];
struct ${int l,r;ld p;char operator<($ b) {return l<b.l||(l==b.l&&r>b.r);}}q[5005];
struct edge{int to,nxt;}e[5005];int et,head[5005];ld dp[5005][5005],zy[5005][2];
inline void adde(int x,int y) {e[++et]=(edge){y,head[x]},head[x]=et;}
inline int qry(int l,int r) {int g=lg[r-l+1];return max(bz[l][g],bz[r-(1<<g)+1][g]);}
inline void dfs0(int x,int fa)
{
mx[x]=qry(q[x].l,q[x].r);for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt) dfs0(e[i].to,x);
dp[x][0]=1-q[x].p;for(int i=0;i<=m;i++) zy[i][0]=zy[i][1]=1;
for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt) for(int j=0,y=e[i].to;j<=m;j++)
zy[j][0]*=dp[y][min(j-mx[y]+mx[x]-1,m)],zy[j][1]*=dp[y][min(j-mx[y]+mx[x],m)];
for(int i=0;i<=m;i++) dp[x][i]=(i?q[x].p*zy[i][0]:0)+(1-q[x].p)*zy[i][1];
//for(int i=1;i<=m;i++) printf("%.5Lf %.5Lf\n",zy[i][0],zy[i][1]);
//for(int i=0;i<=m;i++) printf("%.5Lf%c",dp[x][i],i==m?'\n':' ');
}
int main()
{
read(n,m),lg[0]=-1;for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),bz[i][0]=a[i],lg[i]=lg[i>>1]+1;
q[++m]=($){1,n,0};for(int i=1;i<m;i++) read(q[i].l,q[i].r),scanf("%Lf",&q[i].p);
for(int j=1;j<=20;j++) for(int i=1;i+(1<<(j-1))<=n;i++) bz[i][j]=max(bz[i][j-1],bz[i+(1<<(j-1))][j-1]);
sort(q+1,q+m+1),tp=0;for(int i=1;i<=m;i++) {for(;tp&&q[st[tp]].r<q[i].l;tp--);adde(st[tp],i),st[++tp]=i;}
//putchar('\n');for(int i=1;i<=m;i++) printf("%d %d\n",q[i].l,q[i].r);
dfs0(1,0);ld rs=0;for(int i=0;i<=m;i++) rs+=(dp[1][i]-(i?dp[1][i-1]:0))*(mx[1]+i);
return printf("%.10Lf\n",rs),0;
}
