二分查找

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• 题目描述
  • 说明
  • 示例
• 题解
• 代码

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题目描述

给定已排好序的 \(n\) 个元素 \(a[0 : n - 1]\) ，在这 \(n\) 个元素中找出某一特定元素 \(x\) 。

说明

• 输入
  • 第一行输入数组元素个数 \(n\)
  • 第二行输入数组各个元素 \({a[0] ... a[n - 1]}\)
  • 第三行输入所要找的元素 \(x\)
• 输出
  • 输出元素 \(x\) 在数组中的下标，如果不存在则输出 \(-1\)

示例

输入: 
5
1 3 5 7 9
3
    
输出: 
1

输入:
6
1 5 6 10 12 20
9

输出:
-1

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题解

首先可以采用顺序查找方法，逐个查找 \({a[0 : n - 1]}\) 中的元素，直至找出元素 \(x\) 或者搜索完整个数组。在最坏情况下，这样做的时间复杂度显然是 \(O(N)\) 。

顺序查找没有利用数组元素有序的性质。二分查找采用分治策略，将 \(n\) 个元素分成个数大致相同的两部分，取 \(a[n / 2]\) 与 \(x\) 比较。如果 \(x\) 等于 \(a[n / 2]\) ，则找到 \(x\) ，算法结束。如果 \(x\) 小于 \(a[n / 2]\) ，则在数组 \(a\) 的左半部分继续按照此算法继续搜索 \(x\) ；如果 \(x\) 大于 \(a[n / 2]\) ，则在数组 \(a\) 的右半部分继续按照此算法继续搜索 \(x\) 。在最坏情况下，二分查找的时间复杂度是 \({O(logN)}\) 。

当然，也可以构建哈希表来处理此问题，它的时间复杂度只是 \({O(1)}\) 级别。

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代码

#include <iostream>

using namespace std;

// 迭代版本
int iterate_binary_search(int *a, int &n, const int &x);

// 递归版本
int recursion_binary_search(int *a, int &n, const int &x);
int recursion_auxiliary(int *a, int &left, int &right, const int &x);

const int size = 100;

int main()
{
    int n = 0, i = 0, a[size], x = 0;
    cin >> n;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    cin >> x;
    cout << iterate_binary_search(a, n, x) << endl;
    cout << recursion_binary_search(a, n, x) << endl;
    return 0;
}

int iterate_binary_search(int *a, int &n, const int &x)
{
    int index = -1;
    int left = 0, right = n - 1, middle = 0;
    while (left <= right)
    {
        middle = (left + right) / 2;
        if (x == a[middle])
        {
            index = middle;
            break;
        }
        if (x > a[middle])
        {
            left = middle + 1;
        }
        else
        {
            right = middle - 1;
        }
    }
    return index;
}

int recursion_binary_search(int *a, int &n, const int &x)
{
    int left = 0, right = n  - 1;
    return recursion_auxiliary(a, left, right, x);
}
int recursion_auxiliary(int *a, int &left, int &right, const int &x)
{
    if (left > right)
    {
        return -1;
    }
    int middle = (left + right) / 2;
    if (x == a[middle])
    {
        return middle;
    }
    if (x > a[middle])
    {
        left = middle + 1;
    }
    else
    {
        right = middle - 1;
    }
    return recursion_auxiliary(a, left, right, x);
}

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