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light oj 1236 分解质因数

题目链接：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=70017#problem/H

题意：求满足1<=i<=j<=n且lcm(i,j)=n的pair<i,j>的数目

 

一开始我是这么想的：

既然lcm(i,j)=n，

那么n=x*i=y*j，且x和y一定互质。

若i和j固定了，那么x和y也固定了。

那么问题就转化成求n的约数中互质的pair的数目

由唯一分解定理，设n有p个质因数，每个质因数的幂是a[i]

设x包括了其中的m个质因子，那么这m个y中一定就没有了

然后用排列组合可以YY出一个奇怪的式子

 

但是这种方法实际上并不好用。。。。

因为每个质因数可以取1....a[i]个。。。

最后式子中还会a要求a[]的全排列之类的。。。【什么鬼

然后就很复杂啦

 

换种思路：由lcm(A,B)=M

因为M是A和B的公倍数，所以M的质因数是A和B的并集

设分解质因数之后：

A=x^a1+y^a2+z^a3+......

B=x^b1+y^b2+z^b3+......

M=x^c1+y^c2+z^c3+......

因为M是A和B的最小公倍数，

所以对每个质因数都会有max(ai , bi)=ci

比如设ci=2，那么就有以下几种情况：

ai=2 , bi=2　　　　ai=2 , bi=1　　　　ai=2 , bi=0

ai=1 , bi=2　　　　ai=0 , bi=2

用这个性质就可以推出公式啦：

对于每一个质因子，可能的情况有2*ci+1种

而不同质因子又是相互独立事件，所以直接套乘法原理，得ans=(2*c1+1)*(2*c2+1)*......*(2*ci+1)

但是中间会有重复的情况（用iPad或草稿纸YY一下很容易看出来的），所以还要ans=(ans-1)/2+1

 

注意注意注意：：：

因为n很大，所以要注意数据类型。特别是中间变量的数据类型

【被坑了2h  QAQ】

 

 

  1 #include <cstdlib>
  2 #include <cctype>
  3 #include <cstring>
  4 #include <cstdio>
  5 #include <cmath>
  6 #include <algorithm>
  7 #include <vector>
  8 #include <string>
  9 #include <iostream>
 10 #include <map>
 11 #include <set>
 12 #include <queue>
 13 #include <stack>
 14 #include <bitset>
 15 #include <list>
 16 #include <cassert>
 17 #include <complex>
 18 using namespace std;
 19 #define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
 20 #define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
 21 #define all(x) (x).begin(),(x).end()
 22 //#define fi first
 23 #define se second
 24 #define SZ(x) ((int)(x).size())
 25 #define TWO(x) (1<<(x))
 26 #define TWOL(x) (1ll<<(x))
 27 #define clr(a) memset(a,0,sizeof(a))
 28 #define POSIN(x,y) (0<=(x)&&(x)<n&&0<=(y)&&(y)<m)
 29 typedef vector<int> VI;
 30 typedef vector<string> VS;
 31 typedef vector<double> VD;
 32 typedef long long ll;
 33 typedef long double LD;
 34 typedef pair<int,int> PII;
 35 typedef pair<ll,ll> PLL;
 36 typedef vector<ll> VL;
 37 typedef vector<PII> VPII;
 38 typedef complex<double> CD;
 39 const int inf=0x20202020;
 40 const ll mod=1000000007;
 41 const double eps=1e-9;
 42 
 43 ll powmod(ll a,ll b)             //return (a*b)%mod
 44 {ll res=1;a%=mod;for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}
 45 ll powmod(ll a,ll b,ll mod)     //return (a*b)%mod
 46 {ll res=1;a%=mod;for(;b;b>>=1){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;}return res;}
 47 ll gcd(ll a,ll b)                 //return gcd(a,b)
 48 { return b?gcd(b,a%b):a;}
 49 // head
 50 
 51 namespace Factor {
 52     const int N=1010000;
 53     ll C,fac[10010],n,mut,a[1001000];
 54     int T,cnt,i,l,prime[N],p[N],psize,_cnt;
 55     ll _e[100],_pr[100];
 56     vector<ll> d;
 57 
 58     inline ll mul(ll a,ll b,ll p) {     //return (a*b)%p
 59         if (p<=1000000000) return a*b%p;
 60         else if (p<=1000000000000ll) return (((a*(b>>20)%p)<<20)+(a*(b&((1<<20)-1))))%p;
 61         else {
 62             ll d=(ll)floor(a*(long double)b/p+0.5);
 63             ll ret=(a*b-d*p)%p;
 64             if (ret<0) ret+=p;
 65             return ret;
 66         }
 67     }
 68 
 69     void prime_table(){     //prime[1..tot]: prime[i]=ith prime
 70         int i,j,tot,t1;
 71         for (i=1;i<=psize;i++) p[i]=i;
 72         for (i=2,tot=0;i<=psize;i++){
 73             if (p[i]==i) prime[++tot]=i;
 74             for (j=1;j<=tot && (t1=prime[j]*i)<=psize;j++){
 75                 p[t1]=prime[j];
 76                 if (i%prime[j]==0) break;
 77             }
 78         }
 79     }
 80 
 81     void init(int ps) {                 //initial
 82         psize=ps;
 83         prime_table();
 84     }
 85 
 86     ll powl(ll a,ll n,ll p) {           //return (a^n)%p
 87         ll ans=1;
 88         for (;n;n>>=1) {
 89             if (n&1) ans=mul(ans,a,p);
 90             a=mul(a,a,p);
 91         }
 92         return ans;
 93     }
 94 
 95     bool witness(ll a,ll n) {
 96         int t=0;
 97         ll u=n-1;
 98         for (;~u&1;u>>=1) t++;
 99         ll x=powl(a,u,n),_x=0;
100         for (;t;t--) {
101             _x=mul(x,x,n);
102             if (_x==1 && x!=1 && x!=n-1) return 1;
103             x=_x;
104         }
105         return _x!=1;
106     }
107 
108     bool miller(ll n) {
109         if (n<2) return 0;
110         if (n<=psize) return p[n]==n;
111         if (~n&1) return 0;
112         for (int j=0;j<=7;j++) if (witness(rand()%(n-1)+1,n)) return 0;
113         return 1;
114     }
115 
116     ll gcd(ll a,ll b) {
117         ll ret=1;
118         while (a!=0) {
119             if ((~a&1) && (~b&1)) ret<<=1,a>>=1,b>>=1;
120             else if (~a&1) a>>=1; else if (~b&1) b>>=1;
121             else {
122                 if (a<b) swap(a,b);
123                 a-=b;
124             }
125         }
126         return ret*b;
127     }
128 
129     ll rho(ll n) {
130         for (;;) {
131             ll X=rand()%n,Y,Z,T=1,*lY=a,*lX=lY;
132             int tmp=20;
133             C=rand()%10+3;
134             X=mul(X,X,n)+C;*(lY++)=X;lX++;
135             Y=mul(X,X,n)+C;*(lY++)=Y;
136             for(;X!=Y;) {
137                 ll t=X-Y+n;
138                 Z=mul(T,t,n);
139                 if(Z==0) return gcd(T,n);
140                 tmp--;
141                 if (tmp==0) {
142                     tmp=20;
143                     Z=gcd(Z,n);
144                     if (Z!=1 && Z!=n) return Z;
145                 }
146                 T=Z;
147                 Y=*(lY++)=mul(Y,Y,n)+C;
148                 Y=*(lY++)=mul(Y,Y,n)+C;
149                 X=*(lX++);
150             }
151         }
152     }
153 
154     void _factor(ll n) {
155         for (int i=0;i<cnt;i++) {
156             if (n%fac[i]==0) n/=fac[i],fac[cnt++]=fac[i];}
157         if (n<=psize) {
158             for (;n!=1;n/=p[n]) fac[cnt++]=p[n];
159             return;
160         }
161         if (miller(n)) fac[cnt++]=n;
162         else {
163             ll x=rho(n);
164             _factor(x);_factor(n/x);
165         }
166     }
167 
168     void dfs(ll x,int dep) {
169         if (dep==_cnt) d.push_back(x);
170         else {
171             dfs(x,dep+1);
172             for (int i=1;i<=_e[dep];i++) dfs(x*=_pr[dep],dep+1);
173         }
174     }
175 
176     void norm() {
177         sort(fac,fac+cnt);
178         _cnt=0;
179         rep(i,0,cnt) if (i==0||fac[i]!=fac[i-1]) _pr[_cnt]=fac[i],_e[_cnt++]=1;
180             else _e[_cnt-1]++;
181     }
182 
183     vector<ll> getd() {
184         d.clear();
185         dfs(1,0);
186         return d;
187     }
188 
189     vector<ll> factor(ll n) {       //return all factors of n        cnt:the number of factors
190         cnt=0;
191         _factor(n);
192         norm();
193         return getd();
194     }
195 
196     vector<PLL> factorG(ll n) {
197         cnt=0;
198         _factor(n);
199         norm();
200         vector<PLL> d;
201         rep(i,0,_cnt) d.push_back(make_pair(_pr[i],_e[i]));
202         return d;
203     }
204 
205     bool is_primitive(ll a,ll p) {
206         assert(miller(p));
207         vector<PLL> D=factorG(p-1);
208         rep(i,0,SZ(D)) if (powmod(a,(p-1)/D[i].first,p)==1) return 0;
209         return 1;
210     }
211 }
212 
213 int TTT;
214 ll N;
215 int main()
216 {
217     scanf("%d",&TTT);
218     Factor::init(200000);
219   //Factor::init(10000000);
220     for (int TT=1;TT<=TTT;TT++)
221     {
222         cin>>N;
223         //scanf("%lld",&N);
224         ll ans=1;
225         vector<PLL> p=Factor::factorG(N);
226         for (vector<PLL>::iterator i=p.begin();i!=p.end();i++)
227         {
228             ll tm=i->first;
229             int POW=0;
230             ll T=N;
231             while (T%tm==0)
232             {
233                 POW++;
234                 T=T/tm;
235             }
236             //cout<<"-->  "<<tm<<" - "<<POW<<endl;
237             ans=ans*(1+2*POW);
238         }
239         ans=(ans-1)/2+1;
240         cout<<"Case "<<TT<<": "<<ans<<endl;
241         //printf("Case %d: %lld\n",TT,ans);
242         //printf("Case %d: %lld\n",TT,ans);
243     }
244 }
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posted on 2015-03-16 01:38  Pentium.Labs  阅读(727)  评论(0)  编辑  收藏  举报



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