hihocoder1043 完全背包
完全背包问题跟01背包问题的区别在于：对每种物品，在01背包中可以选取0个或者1个，而在完全背包中，每种物品都可以选取任意多个。
状态定义：
dp[i][j]表示：解决了第0~i中物品的选取问题，已消耗容量为j时，获得的最大价值。
状态转移：
这里的状态转移有两种写法，第一种写法较容易理解，第二中写法理解起来要稍微难一点。
第一种写法：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]), (k>=0且k*w[i]<=j)
第二种写法：
当w[i]>j时，已消耗容量j比w[i]还小，这种情况显然是第i个物品选取0个的情况，此时显然dp[i][j] = dp[i-1][j]；
当w[i]<=j时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]]+v[i]), 因为这时候dp[i][j]无非只可能由两种情况之一转换而来，第一种情况就是第i个物品选取0个，第二种情况是“在第i个物品已经选取了若干的情况下，再选取了一个 ”，为什么可以这样做呢？因为我们的计算顺序是先计算较小的j的情况再计算较大的j的情况，所以在计算dp[i][j]的时候，dp[i][j-w[i]]已经计算过了，可以直接用。
我的代码：
采用第一种状态转移：
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 6 #define MAXN 501 7 #define MAXM 100005 8 9 int dp[MAXN][MAXM], w[MAXN], v[MAXN]; 10 11 int main() 12 { 13 int n, m, ans; 14 while(scanf("%d%d", &n, &m)!=EOF) 15 { 16 for(int i=0; i<n; ++i) 17 scanf("%d%d", &w[i], &v[i]); 18 19 memset(dp[0], 0, sizeof(dp[0])); 20 for(int k=1; k*w[0]<=m; ++k) 21 dp[0][k*w[0]] = v[0]*k; 22 for(int i=1; i<n; ++i) 23 { 24 for(int j=0; j<=m; ++j) 25 { 26 dp[i][j] = dp[i-1][j]; 27 for(int k=1; k*w[i]<=j; ++k) 28 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]); 29 } 30 } 31 ans = 0; 32 for(int i=0; i<=m; ++i) ans = max(ans, dp[n-1][i]); 33 printf("%d\n", ans); 34 } 35 return 0; 36 }
采用第二种状态转移：
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 6 #define MAXN 501 7 #define MAXM 100005 8 9 int dp[MAXN][MAXM], w[MAXN], v[MAXN]; 10 11 int main() 12 { 13 int n, m, ans; 14 while(scanf("%d%d", &n, &m)!=EOF) 15 { 16 for(int i=0; i<n; ++i) 17 scanf("%d%d", &w[i], &v[i]); 18 19 memset(dp[0], 0, sizeof(dp[0])); 20 for(int k=1; k*w[0]<=m; ++k) 21 dp[0][k*w[0]] = v[0]*k; 22 for(int i=1; i<n; ++i) 23 { 24 for(int j=0; j<=m; ++j) 25 { 26 if(w[i]>j) dp[i][j] = dp[i-1][j]; 27 else 28 { 29 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-w[i]]+v[i]); 30 } 31 } 32 } 33 ans = 0; 34 for(int i=0; i<=m; ++i) ans = max(ans, dp[n-1][i]); 35 printf("%d\n", ans); 36 } 37 return 0; 38 }
采用第二种状态转移+优化空间复杂度：
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 6 #define MAXN 501 7 #define MAXM 100005 8 9 int dp[MAXM], w[MAXN], v[MAXN]; 10 11 int main() 12 { 13 int n, m, ans; 14 while(scanf("%d%d", &n, &m)!=EOF) 15 { 16 for(int i=0; i<n; ++i) 17 scanf("%d%d", &w[i], &v[i]); 18 19 memset(dp, 0, sizeof(dp)); 20 for(int i=0; i<n; ++i) 21 { 22 for(int j=0; j<=m; ++j) 23 { 24 if(j>=w[i]) dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]); 25 } 26 } 27 ans = 0; 28 for(int i=0; i<=m; ++i) ans = max(ans, dp[i]); 29 printf("%d\n", ans); 30 } 31 return 0; 32 }
题目来源：http://hihocoder.com/problemset/problem/1043
