Chapter 1. 庞加莱群、单粒子态和时间空间反演

1. 前言

本部分参考了Weinberg的量子场论第一卷第二章的内容。如果具备一些关于群表示论的知识，阅读Weinberg 的量子场论无疑是一种享受。虽然其它场论教科书的语言通俗易懂（尤其是Shwartz的场论，但Schwartz的书在数学上也十分严谨），可以帮助读者较快地理解物理图像，但是不准确的表达也十分容易引起一些基本概念的混淆，而Weinberg的书将数学和物理完美结合，没有任何语焉不详之处，在细节问题上的处理可以看出作者功力之深厚，就像物理学界那句名言所说的，“魔鬼藏在细节中“。

2. 庞加莱代数

庞加莱群即为洛伦兹群\(\Lambda\)和平移群\(a\)的半直积，很类似 Euclid 空间群。群元之间的运算定义为：

\[T(\bar\Lambda,\bar a)T(\Lambda,a)=T(\bar\Lambda\bar\Lambda,\bar\Lambda a+\bar a). \]

它在希尔伯特空间上的酉表示满足：

\[U(\bar\Lambda,\bar a)U(\Lambda,a)=U(\bar\Lambda\Lambda,\bar\Lambda a+\bar a). \]

当然，更严格的做法是考虑射影表示，不过在这里我们只用最通常的表示即可。

接下来分析庞加莱群所具有的一些性质，我们从它的一个子群洛伦兹群入手。洛伦兹群元的行列式为\(1\)或者\(-1\)，\(\Lambda_0^0\ge1\)或者\(\Lambda_0^0\le-1\)。这说明，洛伦兹群有四个分支，不是一个连通群。我们来说明，行列式为\(1\)且\(\Lambda_0^0\ge1\)的分支为它的一个子群。只需要验证封闭性即可。行列式为正显然满足封闭性，我们来证明另一个条件。\(\Lambda_0^0\ge 1, \bar\Lambda_0^0\ge 1\Rightarrow(\bar\Lambda\Lambda)_0^0\ge 1.\) 若\((\bar\Lambda\Lambda)_0^0 \ge\bar\Lambda_0^0\Lambda_0^0\ge 1\), 不然有

\[\begin{equation} (\bar\Lambda\Lambda)_0^0=\bar\Lambda_0^0\Lambda_0^0+\bar\Lambda_1^0\Lambda_0^1+\bar\Lambda_2^0\Lambda_0^2+\bar\Lambda_3^0\Lambda_0^3,\quad |\bar\Lambda_1^0\Lambda_0^1+\bar\Lambda_2^0\Lambda_0^2+\bar\Lambda_3^0\Lambda_0^3| \le\sqrt{(\bar\Lambda_0^0)^2-1}\sqrt{(\Lambda_0^0)^2-1} \end{equation} \]

\[\Rightarrow(\bar\Lambda\Lambda)_0^0\ge\bar\Lambda_0^0\Lambda_0^0-\sqrt{(\bar\Lambda_0^0)^2-1}\sqrt{(\Lambda_0^0)^2-1}, \]

\[(\bar\Lambda_0^0\Lambda_0^0-1)^2-((\bar\Lambda_0^0)^2-1)((\Lambda_0^0)^2-1)=(\bar\Lambda_0^0-\Lambda_0^0)^2\ge0, \]

\[\Rightarrow(\bar\Lambda\Lambda)_0^0\ge\bar\Lambda_0^0\Lambda_0^0-\sqrt{(\bar\Lambda_0^0)^2-1}\sqrt{(\Lambda_0^0)^2-1}\ge1. \quad\square \]

上述子群称为 proper orthochronous Lorentz group, 从该群出发并结合时间反演、空间反演和这两个群元的乘积就可以跳到其它三个分支。空间反演矩阵不改变0分量，将其它三个分量取反，时间反演矩阵只将0分量取反。

庞加莱群另外一个性质为非紧群，即群元中的矩阵元的模无上下界，这直接引起了庞加莱群不存在有限维的不可约表示。而熟知的 SO(3) 群因为是正交矩阵，每个矩阵元的模都必须小于1, 于是SO(3)群为紧群，存在有限维的不可约表示，事实上，该群存在任意整数维的不可约表示。

我们在单位元附近将庞加莱群表示进行展开来求其生成元的李代数。

\[U(1+\omega,\epsilon)=1+\frac{i}{2}\omega_{\rho\sigma}J^{\rho\sigma}-i\epsilon_\rho P^\rho+... \]

由 Lorentz group 的性质可知\(\omega_{\rho\sigma}\)为反对称张量，于是在不影响结果的前提下，我们有\(J^{\rho\sigma}=-J^{\sigma\rho}\).

\[U(\Lambda,a)U(1+\omega,\epsilon)U^{-1}(\Lambda,a)=U(\Lambda(1+\omega)\Lambda^{-1},\Lambda\epsilon-\Lambda\epsilon\Lambda^{-1}a). \]

反复利用上述两式可以得到生成元之间的对易关系即所谓的李代数：

\[i[J^{\mu\nu},J^{\rho\sigma}]=g^{\nu\rho}J^{\mu\sigma}-g^{\mu\rho}J^{\nu\sigma}-g^{\sigma\mu}J^{\rho\nu}+g^{\sigma\nu}J^{\rho\mu},\quad i[P^\mu,J^{\rho\sigma}]=g^{\mu\rho}P^\sigma-g^{\mu\sigma}P^\rho,\quad [P^\mu,P^\rho]=0. \]

定义四阶动量\(P^\mu=\{H,P^1,P^2,P^3\}\), 角动量算符\(\vec{J}=\{J^{23},J^{31},J^{12}\}\), Boost算符\(\vec{K}=\{J^{01},J^{02},J^{03}\}\) ，便可得到熟悉的对易关系。

最后指出几个子群的表示。

平移群：\(\omega=0\)，生成元只有\(P^\mu\)，并且生成元之间互换对易，于是表示可以直接写为\(U(1,a)=\exp(-iP^\mu a_\mu)\).

三维旋转群：\(a=0\)，并且令\(\omega\) 第一行和第一列都为0, 生成元只有\(\vec{J}\)，于是表示可以写为\(U(R_\theta,0)=\exp(i\vec J\cdot\vec\theta)\).