$bzoj1101-POI2007$ $Zap$ 莫比乌斯反演

• 题面描述

  • \(FGD\)正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：
    • 对于给定的整数\(a,b\)和\(d\)，有多少正整数对\(x,y\)，满足\(x\leq a,y\leq b\)，并且\(gcd(x,y)=d\)。作为\(FGD\)的同学，\(FGD\)希望得到你的帮助。

• 输入格式

  • 第一行包含一个正整数\(n\)，表示一共有\(n\)组询问。\((1\leq n\leq 5*10^4)\)接下来\(n\)行，每行表示一个询问，每行三个正整数，分别为\(a,b,d\)。\((1\leq d\leq a,b\leq 5*10^4)\)

• 输出格式

  • 对于每组询问，输出一个正整数，表示满足条件的整数对数。

• 题解

  • 推一波式子

  • \[ans=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b [gcd(i,j)=d]\ (a<b)\\ =\sum_{i=1}^{\frac{a}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{b}{d}}[gcd(i,j)=1]\\ =\sum_{i=1}^{\frac{a}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{b}{d}}\sum_{d'|gcd(i,j)}\mu(d')\\ =\sum_{x=1}^{\frac{a}{d}}\lfloor\frac{a}{xd}\rfloor\lfloor\frac{b}{xd}\rfloor\mu(x)\\ \]

  • 由于\(\lfloor\frac{a}{xd}\rfloor,\lfloor\frac{b}{xd}\rfloor\)不同值的个数分别只有\(O(\sqrt{\frac{a}{d}})\) 和\(O(\sqrt{\frac{b}{d}})\)因此先预处理\(\mu(x)\)的前缀和，然后对于每个询问用\(O(\sqrt{\frac{a}{d}}+\sqrt{\frac{b}{d}})\)的时间回答

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=5e4+5;
int T,a,b,d;
int pri[MAXN],mu[MAXN];
bool use[MAXN];
int f[MAXN];
int main(){
	use[1]=1; mu[1]=1;
	for (int i=2;i<=5e4;i++){
		if (!use[i]) pri[++pri[0]]=i,mu[i]=-1;
		for (int j=1;j<=pri[0]&&pri[j]*i<=5e4;j++){
			use[i*pri[j]]=1;
			if (i%pri[j]!=0) mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else break;
		}
	}
	for (int i=1;i<=5e4;i++) f[i]=f[i-1]+mu[i];
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);
		if (a>b) swap(a,b);
		a/=d; b/=d;
		int j=0,ans=0;
		for (int i=1;i<=a;i=j+1){
			j=min(a/(a/i),b/(b/i));
			ans+=(a/i)*(b/i)*(f[j]-f[i-1]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}