图论

拓扑排序

1. 拓扑图：一张有向联通无环图。
2. 拓扑序：有向图遍历的点的顺序。
3. 拓扑排序：在这个有向无环连通图中,只有先选了某个点才能再选另一个（生动形象的理解为：早上先起来床，再穿衣服，再洗漱，再……）。

【例题】

P1113 杂务

题目描述

John的农场在给奶牛挤奶前有很多杂务要完成，每一项杂务都需要一定的时间来完成它。比如：他们要将奶牛集合起来，将他们赶进牛棚，为奶牛清洗乳房以及一些其它工作。尽早将所有杂务完成是必要的，因为这样才有更多时间挤出更多的牛奶。当然，有些杂务必须在另一些杂务完成的情况下才能进行。比如：只有将奶牛赶进牛棚才能开始为它清洗乳房，还有在未给奶牛清洗乳房之前不能挤奶。我们把这些工作称为完成本项工作的准备工作。至少有一项杂务不要求有准备工作，这个可以最早着手完成的工作，标记为杂务11。John有需要完成的nn个杂务的清单，并且这份清单是有一定顺序的，杂务k(k>1)k(k>1)的准备工作只可能在杂务11至k-1k−1中。

写一个程序从11到nn读入每个杂务的工作说明。计算出所有杂务都被完成的最短时间。当然互相没有关系的杂务可以同时工作，并且，你可以假定John的农场有足够多的工人来同时完成任意多项任务。

输入格式

第1行：一个整数nn，必须完成的杂务的数目(3 \le n \le 10,0003≤n≤10,000)；

第22至(n+1)(n+1)行： 共有nn行，每行有一些用11个空格隔开的整数，分别表示：

* 工作序号(11至nn,在输入文件中是有序的)；

* 完成工作所需要的时间len(1 \le len \le 100)len(1≤len≤100)；

* 一些必须完成的准备工作，总数不超过100100个，由一个数字00结束。有些杂务没有需要准备的工作只描述一个单独的00，整个输入文件中不会出现多余的空格。

输出格式

一个整数，表示完成所有杂务所需的最短时间。

输入输出样例

输入 #1复制

7
1 5 0
2 2 1 0
3 3 2 0
4 6 1 0
5 1 2 4 0
6 8 2 4 0
7 4 3 5 6 0
输出 #1复制

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【思路】

拓扑排序：先选择入读为0的点，然后依次往后扩展选择

最小生成树
一般使用kruskal

最小生成树的唯一性

判断权值相等的边能用和实际用的数量相等

次小生成树

注意到次小生成树是最小生成树进行一次加边删边操作得到。

先求出最小生成树任意两个节点的路径最大边权。

再在最小生成树以外枚举边，枚举非树边加入树中，此时一定会产生环，将环中最大边删除，更新边权值

如果加入树的边和删除的边权值相等则将次大的边删除，维护唯一的

最小斯坦纳树

可以理解为固定部分的最小生成树

最短路

Johonson重赋值

解决dijkstra没法解决的负权边问题

先建一个虚拟的点

将虚拟的点连接的所有权值为0的边

得出最短路

记录每个点的最短路

将图的所有边重新赋值为：如果u到v有权值w的边，w+hu-hv

然后在原来进行n次djjkstra