字符串（1） 哈希/hash

哈希是一个字符串里关于子串的很重要的算法（有时甚至可以替代 KMP 和 Manacher）。

构造

我们通常使用的是多项式哈希，即：

\(f(s) = \sum_{i=1}^{l} s_i \times b^{l-i} \pmod M\) 或 \(f(s) = \sum_{i=1}^{l} s_i \times b^{i-1} \pmod M\)。

对于两种形式来说，我们求字串哈希值的时候的求法是不同的。注意到在取模的情况下使用公式 2，会使实际哈希值所在区间比实际更小，容易产生哈希冲突。所以公式 1 在实际使用中会更常用。

我们发现对于这个式子有两个常数：系数 \(b\) 和模数 \(M\)。对于系数包括 \(133\) 或 \(137\) 等，对于模数包括 \(998244353\) 和 \(1e9+7\)，当然我们也可以选择自然溢出，即放弃模数，直接使用 \(unsigned\) \(long\) \(long\)。

哈希冲突这个东西不难理解，因为我们将一个字符串的哈希值固定在了模数的范围中，自然有概率在极特殊的情况下两个不同字符串的哈希值是相同的。我们通常使双哈希甚至多哈希来避免这种情况。

特别的是，在 Codeforces 比赛中，由于有 hack 这一操作的存在，即使有些题目可以使用哈希，但也要尽量减少哈希的使用，会有神（sha）秘（bi）人针对你的系数与模数专门卡。

应用

以下应用均以 \(f(s) = \sum_{i=1}^{l} s_i \times b^{i-1} \pmod M\) 这种哈希构造方式进行使用。

字符串匹配

假设模式串为字符串 \(T\)，长度为 \(k\)，匹配串为字符串 \(S\)。

对于 \(T\)，我们可以直接求出它的哈希值；对于 \(S\)，，可以先预处理出对于 \([1,i]\) 的字符串的哈希值，它的长度为 \(k\) 的子串哈希值可以用类似前缀和的方式减出来，即为 \(\sum_{l}^{l+k} s_i \times b^{i-1} \pmod M\)，我们发现对于整个式子除以 \(b^{l-1}\) 后可直接与 \(T\) 匹配即可。

这个东西预处理的时间复杂度为 \(O(n)\)，单次匹配的时间复杂度为 \(O(1)\)，时间复杂度与 KMP 相当。

（KMP 其实也能做不少哈希干不了的事，学习 KMP 也是有必要的）

例题：P3375 【模板】KMP

最长回文子串

我们可以考虑二分答案。

我们二分最长回文子串的长度 \(k\)，提前预处理字符串 \(S\) 的正向哈希和反向哈希（即一次正着处理一次反着处理），然后枚举对称轴，对于每个可以作为对称轴的 \(i\) 判断 \([i-k/2,i]\) 的正向哈希值与 \([i,i+k/2]\) 的反向哈希值是否相等。

我们可以保证该答案具有单调性，因为如果 \([l-1,r+1]\) 为回文子串，则 \([l,r]\) 也为回文子串。

该算法的时间复杂度为 \(O(n \log n)\)，慢于 Manacher 的 \(O(n)\)。但哈希同样存在 \(O(n)\) 的判断方法。

设 \(R_i\) 表示以 \(i\) 结尾的最长回文子串，在这个定义下，我们可以发现 \(R_i\leq R_{i-1}+2\)，且最终答案是 \(\max_{i=1}^n R_i\)，对于 \(R_i\)，我们可以从 \(R_{i-1}+2\) 开始枚举，每次减一，用哈希 \(O(1)\) 检查该长度是否为回文串，我们注意到 \(R_{n}\) 最大值为 \(n\)，所以枚举次数不会超过 \(n\)。

例题：P3805 【模板】manacher

最长公共子串

其实感觉这个东西和暴力的时间复杂度其实差不了太多。

我们能够知道若存在一个长为 \(k\) 的公共子串，则必然也存在一个长为 \(k-1\) 的公共子串，我们发现最长公共子串的长度满足单调性。

我们可以自然而然的想到二分答案 \(k\)，然后枚举每个串里长度为 \(k\) 的子串，哈希暴力检索答案。时间复杂度为 \(O(n m \log n)\)

（感觉看了 OI-Wiki 和其他博客，关于这个地方的时间复杂度都有点怪，但我确实没想到更快的匹配方式了）

例题：P5546 [POI 2000] 公共串

不同子串个数

我暂时还只会用哈希优化到 \(O(n^2)\)，但是现在的最新科研是 \(O(n \log ^2 n)\)，可能得学了后缀数组才能理解，我要学了就把这给补了，先鸽着。

例题：P2408 不同子串个数

异或哈希

在近几年的算法竞赛中，有许多在当初几乎不用的算法被推广开来，包括李超线段树、四毛子求 LCA，当然也包括异或哈希。

使用情景

假设我们有一个序列，每次给定 \(l\) 和 \(r\)，求序列中的元素是否满足某种条件。

使用方法

随机化这种东西，学不明白了，再加上异或哈希的题目中统计答案其实也是一个难点，到时候再补。