图论（1） 拓扑排序

AOV网

概念：用于表示子任务先后顺序的有向无环图

构造拓扑序列步骤：

1. 从图中选择一个入度为零的点。

2. 输出该顶点，从图中删除此顶点及其所有的出边。

应用：可用于解决某些具有先后关系的图或具有明显分级的数列，可将数列分级建图后拓扑排序查找答案

Kahn 算法

思路

不断完成并更新前驱事件全部完成的节点。

算法过程

1. 初始时将所有入度为 \(0\) 的点加入 \(S\) 集合。

2. 任意取出一个点，标记该点已被遍历，将所有以该点为起点的边删除（代码中体现为终点入度减一）。

3. 将新出现的入度为 \(0\) 的点加入集合。

4. 重复步骤 \(2\) \(3\) 直到集合为空（全部遍历完或该图为森林或存在环）

Code.

#include<bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
//value 
const int inf=2147483647;
const int mod=1e9+7;
int cnt[200005];
vector<int>g[200005],ans;
queue<int>q;
//如要求字典序最小可用priority_queue


//function 
void solve(){
	
	
	
	return;
}


 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0); 
	
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int t;
		cin>>t;
		while(t!=0){
			g[i].push_back(t);
			cnt[t]++;
			cin>>t;
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(cnt[i]==0)q.push(i);
	}
	while(!q.empty()){
		int tmp=q.front();
		q.pop();
		for(auto i:g[tmp]){
			cnt[i]--;
			if(cnt[i]==0)q.push(i);
		}
		ans.push_back(tmp);
	}
	
	for(int i=0;i<n;i++)cout<<ans[i]<<' ';
	
	return 0;
}

DFS 算法

思路

出度为 \(0\) 的点显然可以放在拓扑排序的最后，回退查找该点的前驱节点是否可以作为后更新的点，所得序列为倒序。

正确性证明：由于dfs到末尾后，保证了该点的所有前驱节点均在他之后加入答案序列，即输出答案时前驱节点必然被更早的输出（即该节点被完成），故保证了该序列必然成立。

算法过程

1. 对图中的每个顶点，调用DFS函数。

2. 在DFS函数中，标记当前顶点为已访问。

3. 对当前顶点的每个未访问的邻接点，递归调用DFS函数。

4. 当DFS函数返回时，将当前顶点添加到拓扑排序的列表中。

5. 最终，拓扑排序的列表逆序即为结果。

Code.

#include<bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
//value 
const int inf=2147483647;
const int mod=1e9+7;
int vis[200005];
vector<int>g[200005];
stack<int>st;


//function 
void dfs(int x){
	if(vis[x]==1)return;
	vis[x]=1;
	for(auto i:g[x]){
		dfs(i);
	}
	st.push(x);
}
void solve(){
	
	
	
	return;
}


 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0); 
	
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int t;
		cin>>t;
		while(t!=0){
			g[i].push_back(t);
			cin>>t;
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!vis[i])dfs(i);
	}
	
	while(!st.empty()){
		cout<<st.top()<<' ';
		st.pop();
	}
	
	return 0;
}

题目训练

P1983 [NOIP 2013 普及组] 车站分级

Solution

显然在同一条线路中，出现的数字一定大于未出现的，可以根据大小关系建图后用拓扑思想一层一层删边删点求出层数。只需单开一个数组记录该点在被遍历到时前方最大遍历层数，即可求出答案。

需注意的是，在建图时，注意不要向 \(vector\) 里重复加边，否则会导致不必要的时间空间消耗。

Code.

#include<bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
//value 
const int inf=2147483647;
const int mod=1e9+7;
int g[2005][2005];
int ans[2005],cnt[2005],x[2005];
int q[2005],tot;


//function 
void solve(){
	
	
	
	return;
}


 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0); 
	
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	//建图
	while(m--){
		int t;
		cin>>t;
		for(int i=1;i<=t;i++)cin>>x[i];
		for(int i=1;i<t;i++){
			for(int j=x[i]+1;j<x[i+1];j++){
				for(int k=1;k<=t;k++){
					if(!g[x[k]][j]){
						g[x[k]][j]=1;
						cnt[j]++;
					}
				}
			}
		}
	}
	//加队列
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(cnt[i]==0){
			q[++tot]=i;
			ans[i]=1;
		}
	}
	//拓扑排序
	int fr=1;
	while(fr<=tot){
		int tmp=q[fr++];
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(g[tmp][i]==0)continue;
			cnt[i]--;
			if(cnt[i]==0){
				q[++tot]=i;
				ans[i]=ans[tmp]+1;
			}
		}
	}
	//寻找答案
	int ma=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)ma=max(ma,ans[i]);
	cout<<ma<<endl;
	
	return 0;
}