ARIMA算法

statsmodels 中两个至关重要的函数：ACF（自相关函数） 和 PACF（偏自相关函数）。它们是时间序列分析，尤其是 ARIMA 模型建模中的核心工具。

1. ACF (Autocorrelation Function) - 自相关函数

  • 它衡量什么？ ACF 衡量的是时间序列 y_t与其自身滞后 k 期（y_{t-k}）的简单相关性。

  • 如何理解？ 例如，ACF(k=1) 就是今天的气温和昨天气温的相关系数；ACF(k=2) 是今天和前天气温的相关系数，以此类推。

  • 关键点： ACF 在计算 y_t 和 y_{t-k} 的相关性时，并没有排除中间期（y_{t-1}, y_{t-2}, ..., y_{t-k+1}）的影响。它包含了所有间接和直接的影响。

2. PACF (Partial Autocorrelation Function) - 偏自相关函数

  • 它衡量什么？ PACF 衡量的是在剔除了中间滞后项（y_{t-1}, ..., y_{t-k+1}）的影响后，时间序列 y_t 与其滞后 k 期（y_{t-k}）的纯粹、直接的相关性。

  • 如何理解？ 比如，PACF(k=2) 衡量的是在今天和昨天的气温已知的情况下，今天和前天气温之间还有多少额外的相关性。它剥离了昨天（y_{t-1}）这个“中间人”带来的影响。

  • 关键点： PACF 就像是 y_t和 y_{t-k} 之间的 “净相关性” 或 “直接相关性”。

在 statsmodels 中的函数

在 statsmodels.tsa.stattools 中，计算这两个函数的函数分别是：

  1. acf(x, nlags=None, alpha=None, ...)

    • x: 输入的时间序列数据（一维数组或 Pandas Series）。

    • nlags: 计算多少期的滞后。默认为 min(10 * np.log10(nobs), nobs - 1)，通常需要手动指定一个合理的值（如 20, 40）。

    • alpha: 如果设置（如 alpha=0.05），函数会返回置信区间，用于判断哪些自相关系数是统计显著的。

  2. pacf(x, nlags=None, alpha=None, method='ywunbiased' ...)

    • 参数与 acf 类似。

    • method: 计算 PACF 的方法。常用选项有：

      • 'yw' 或 'ywunbiased': Yule-Walker 方程（基于样本自相关），这是最经典的方法。

      • 'ols': 对每个滞后 k，用 OLS 回归拟合 y_t ~ y_{t-1} + ... + y_{t-k}，并取 y_{t-k}$的系数。计算精确但较慢。

      • 'ld': 使用 Levinson-Durbin 递归，更高效。

如何使用？

  1. 首先确保时间序列是平稳的（可以通过差分实现，即确定 d）。

  2. 绘制平稳序列的 ACF 和 PACF 图。

  3. 观察图形：

    • 识别 MA(q) 的 q：看 ACF 图在滞后多少期后“截尾”（显著为0）。

    • 识别 AR(p) 的 p：看 PACF 图在滞后多少期后“截尾”。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf
from statsmodels.tsa.arima_process import ArmaProcess

# 1. 模拟一个 AR(2) 过程: y_t = 0.6*y_{t-1} + 0.2*y_{t-2} + epsilon_t
ar2 = np.array([1, -0.6, -0.2])  # 注意 statsmodels 的约定：系数符号取反
ma = np.array([1])
simulated_data = ArmaProcess(ar2, ma).generate_sample(nsample=1000)

# 2. 绘制时间序列图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(simulated_data)
plt.title('Simulated AR(2) Process')
plt.show()

# 3. 绘制 ACF 和 PACF 图
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 8))

# 绘制 ACF图 (拖尾)
plot_acf(simulated_data, lags=40, alpha=0.05, ax=ax1)
ax1.set_title('Autocorrelation Function (ACF)')
# 注意：ACF 是缓慢衰减的（拖尾）

# 绘制 PACF图 (2阶后截尾)
plot_pacf(simulated_data, lags=40, alpha=0.05, ax=ax2, method='ywm')
ax2.set_title('Partial Autocorrelation Function (PACF)')
# 注意：PACF 在 lag=2 之后急剧下降并保持在置信区间内（截尾）

plt.tight_layout()
plt.show()

 

拖尾：指的是ACF或PACF并不在某阶后均为0，而是呈现出一种衰减的趋势，但并不会完全为0。这通常意味着时间序列数据具有长期记忆性，即过去的数据对未来的数据仍有一定的影响。拖尾的情况在AR模型和MA模型中都有可能出现。

截尾：截尾则是指ACF或PACF在某阶后均为0的性质。这意味着时间序列数据在某一阶数后，过去的数据对未来数据的影响可以忽略不计。在AR模型中，PACF通常表现出截尾性，而在MA模型中，ACF则通常表现出截尾性。

模型选择：对于ARMA模型的ACF和PACF图，我们可以通过观察其图形特征来判断模型的阶数。如果ACF图呈现出拖尾的特征，而PACF图呈现出截尾的特征，那么可以考虑使用AR模型进行拟合；如果ACF图呈现出截尾的特征，而PACF图呈现出拖尾的特征，那么可以考虑使用MA模型进行拟合。如果ACF和PACF图都呈现出拖尾的特征，那么可能需要考虑使用ARMA模型进行拟合。

image

 

 

adfuller 是构建ARIMA模型前的必备步骤，用于确定差分阶数 d，是时间序列分析的基础工具。

adfuller 是 Augmented Dickey-Fuller test（增广迪基-富勒检验）的简称。它是一种统计检验方法，用于检验一个时间序列是否具有单位根（unit root），即判断时间序列是否是非平稳的。

核心概念理解

  • 单位根（Unit Root）：如果时间序列包含单位根，意味着它具有随机游走的性质，其方差随时间增长而增大，是非平稳的。

  • 平稳性（Stationarity）：大多数时间序列模型（如ARIMA）都要求数据是平稳的。平稳序列的统计特性（如均值、方差）不随时间变化。

  • 原假设（H₀）：序列具有单位根（即序列是非平稳的）。

  • 备择假设（H₁）：序列没有单位根（即序列是平稳的）。

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

result = adfuller(x, maxlag=None, regression='c', autolag='AIC', store=False, regresults=False)

主要参数说明：

  • x：要检验的时间序列数据（一维数组或Series）。

  • maxlag：检验中使用的最大滞后阶数。如果为None，自动选择。

  • regression：最重要参数之一，指定回归方程的类型：

    • 'c'：仅包含截距项（默认）y_t = α + β*t + ρ*y_{t-1} + ...

    • 'ct'：包含截距项和线性时间趋势 y_t = α + β*t + ρ*y_{t-1} + ...

    • 'ctt'：包含截距项、线性和时间二次趋势

    • 'nc'：不包含截距项或趋势项 y_t = ρ*y_{t-1} + ...

  • autolag：自动选择滞后阶数的方法：

    • 'AIC'：Akaike信息准则（默认）

    • 'BIC'：Bayesian信息准则

    • 't-stat'：基于t统计量

    • None：使用maxlag指定的滞后阶数

返回值

函数返回一个包含5个元素的元组：

  1. adf：ADF检验统计量（Test statistic）

  2. pvalue：p值（用于判断是否拒绝原假设）

  3. usedlag：使用的滞后阶数

  4. nobs：用于检验的观测值数量

  5. critical values：不同显著性水平（1%, 5%, 10%）下的临界值字典

  6. icbest：如果autolag不是None，返回最佳信息准则值

解读结果

决策规则：

  • 如果 p值 < 显著性水平（如0.05）：拒绝原假设，认为序列是平稳的

  • 如果 ADF统计量 < 临界值（如5%水平）：拒绝原假设，认为序列是平稳的

  • 否则：不能拒绝原假设，认为序列是非平稳的

 

在ARIMA模型中，将差分后的预测结果恢复到原始尺度需要反向差分（逆差分）操作。（satesmodel中已自动实现）

ARIMA(p,d,q)中：

  • d：差分阶数

  • 经过d阶差分后，需要进行d次反向差分来恢复原始数据

一阶差分恢复

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

# 示例数据
original_data = pd.Series([10, 15, 20, 25, 30, 35])

# 一阶差分
diff_data = original_data.diff().dropna()
print("一阶差分:", diff_data.values)  # [5, 5, 5, 5, 5]

# 假设我们对差分数据进行了预测，得到下一个值
predicted_diff = 5  # 预测的差分值

# 恢复预测值
last_original_value = original_data.iloc[-1]
predicted_original = last_original_value + predicted_diff
print(f"预测的原始值: {predicted_original}")  # 40

 

多阶差分恢复

# 二阶差分示例
data = pd.Series([10, 15, 23, 34, 48, 65])

# 二阶差分
diff1 = data.diff().dropna()        # 一阶差分: [5, 8, 11, 14, 17]
diff2 = diff1.diff().dropna()       # 二阶差分: [3, 3, 3, 3]

# 假设预测下一个二阶差分值
predicted_diff2 = 3

# 反向恢复
# 第一步：从二阶差分恢复一阶差分
last_diff1 = diff1.iloc[-1]  # 17
predicted_diff1 = last_diff1 + predicted_diff2  # 17 + 3 = 20

# 第二步：从一阶差分恢复原始值
last_original = data.iloc[-1]  # 65
predicted_original = last_original + predicted_diff1  # 65 + 20 = 85

 

posted @ 2025-09-16 17:02  wangssd  阅读(27)  评论(0)    收藏  举报