通信之道笔记_2nd

Fourier分析

连续信号的傅里叶变换

1. Fourier Series
   傅里叶级数仍然是时域的表述，对周期信号的傅里叶变换即是对其傅里叶级数中的e指数函数做傅里叶变换，可得一系列冲激函数的叠加。
   1. 周期信号的傅里叶级数:
      复指数形式的傅里叶级数

   \begin{aligned} x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{\mathrm{j} n \omega_{1} t}\\ c_{n}=\frac{1}{T_{1}} \int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}} x(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n \omega_{1} t} \mathrm{d} t \end{aligned}

2. Fourier 变换
   2. 非周期信号的傅里叶变换
   非周期信号以\(c_{n}T_1=X\left(n \omega_{1}\right) T_{1}\)作为傅里叶变换：

   \begin{aligned} X(\omega)=\mathscr{F}[x(t)]=\lim _{\omega_{1} \rightarrow 0} \frac{2 \pi X\left(n \omega_{1}\right)}{\omega_{1}}=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n \omega_{1} t} \mathrm{d} t=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} t \end{aligned}

   傅里叶反变换：

   \begin{aligned} x(t)=\mathscr{F}^{-1}[X(\omega)]=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} \omega \end{aligned}

   3. 周期信号的傅里叶变换 则周期信号则可由其傅里叶级数的傅里叶变换得到：

   \begin{aligned} x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{\mathrm{j} n \omega_{1} t}\\ \mathscr{F}[x(t)]=2 \pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \delta\left(\omega-n \omega_{1}\right) \end{aligned}

离散信号的傅里叶变换

1. 离散序列的连续傅里叶变换（DTFT）

   \begin{aligned} X(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega n}\\ x[n]=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} X(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega n} \mathrm{d} \omega \end{aligned}

   但是DTFT由于频域连续不便处理，因此找到DFT, 它将频域离散化了，因此很方便计算机处理， 特别是DFT还有快速算法FFT。 ([循环卷积和线性卷积在信号处理中的意义是什么？ - 水木八刀的回答 - 知乎](

https://www.zhihu.com/question/25525824/answer/93515223))
2. 离散序列的傅里叶变换（DFT）
由定义：

\begin{aligned} \operatorname { DFT } [ x ( n ) ] = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) e ^ { - j \frac { 2 \pi } { N }kn } = X ( k ) ,k = 0 \ldots N - 1 \end{aligned}

注意这里 N 和 L 未必相同 , 显然若 N ≥ L , 则

\begin{aligned} X(k)=X(e^{j \omega })|_{w= \frac{2 \pi }{N}k},k=0, \ldots , N -1 \end{aligned}

而 N < L 时 , x(N) , … , x(L -1) 被丢弃了 , 因此上式的采样关系不复存在 , 我们自然不希望如此 . 注意到对 `$ X(e^{jw}) $`采样其对应时域 `$ X(n) $`将周期延拓 , 而`$ X(n) $`为有限长 L 点序列 , 因此只要延拓 周期 N ≥ L , 则可根据采样信号`$ X(k) $`无失真重建原频域信号`$ X(e^{jw}) $`, 此时频域采样间隔为 2π/N . 我们首先假设 N ≥ L 且 N ≥ M , 这样右边的 DTFT 采样形式可以转换成 DFT 形式 , 即

\begin{aligned} Y ( e^{j \omega })|_{w= \frac{2 \pi }{N}k}=X(k)H(k),k=0, \ldots ,N -1 \end{aligned}

我们知道 y ( n ) 的长度为 L + M -1 ( 由卷积定义可确定 ) , 因此当 N ≥ L ＋ M -1 时 , 左边也正 是 Y ( k ) , 两边做 IDFT , 得

\begin{aligned} y ( n ) = x ( n ) * h ( n ) = x ( n ) ⊗ h ( n ) \end{aligned}

而当 N < L + M -1 时 , 左边时域将按 N 点进行周期延拓产生混叠 , 最终取主值区:

\begin{aligned} \widehat{y}(n)=IDFT \left[ Y(e^{jw})|_{w= \frac{2 \pi }{N}k} \right] = \sum _{r=- \infty }^{+ \infty }y(n+rN),n=0, \cdots , N-1 \end{aligned}

显然 , N ≥ L + M -1 时 , y ( n ) = y ( n ) 综上 , 当 N ≥ L 且 N ≥ M 时 , 循环卷积和线性卷积的关系如下 :

\begin{aligned} ( x \otimes h)(n)= \sum _{r=- \infty }^{+ \infty }(x*h)(n+rN), n = 0 , … , N -1 \end{aligned}

注意：如果 N ≤ L，则原信号x被截断无法恢复出原时域信号频谱。 至此可得到循环卷积和线性卷积的关联，可以理解为使用DFT(FFT)计算线性卷积时的衍生品。 #### 傅里叶级数的系数、傅里叶变换以及离散傅里叶变换的统一形式 **(求解信号在一组正交基下的坐标)（也可理解为与各频率分量的互相关值，即为信号分解得到的各个频率分量信息）**

傅里叶级数的系数

\begin{aligned} c_{n}=\frac{1}{T_{1}} \int_{-\frac{T_{1}}{2}}^{\frac{T_{1}}{2}} x(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} n \omega_{1} t} \mathrm{d} t =\frac{1}{T}\left\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{e}_{n}\right\rangle,e_{n}(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{j} n \omega_{1} t}, t为向量自变量标号，n指示各个正交基 \end{aligned}

傅里叶变换

\begin{aligned} X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{d} t=\left\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{e}_{\omega}\right\rangle,e_{\omega}(t)=\mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t},t为向量自变量标号，\omega指示各个正交基 \end{aligned}

离散傅里叶变换

\begin{aligned} \operatorname { DFT } [ x ( n ) ] = X ( k )= \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) e ^ { - j \frac { 2 \pi } { N }kn }=\left\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{e}_{k}\right\rangle ,n为向量自变量标号，k指示各个正交基 \end{aligned}

其中：

\begin{aligned} \boldsymbol{e}_{k}=\left(\mathrm{e}_{k}[0], \mathrm{e}_{k}[1], \cdots, \mathrm{e}_{k}[N-1]\right),\boldsymbol{x}=(x[0], x[1], \cdots, x[N-1]) \end{aligned}

注意：标准内积的定义是一个复数向量乘以另一个复数向量的共轭：

\begin{aligned} \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\sum_{n=1}^{N} x_{n} \bar{y}_{n}, \\ \langle\boldsymbol{f}, \boldsymbol{g}\rangle=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \overline{g(t)} \mathrm{d} t \end{aligned}