斐波那契前 n 项和 || 垒骰子(矩阵乘法)
1303. 斐波那契前 n 项和
5 1000
样例输出：
12
代码：
//矩阵乘法d... ... 这他妈是人能想出来的?
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 3;
int n, m;
//矩阵乘法
void mul(int a[], int b[], int c[][N])
{
int tmp[N] = {0};
for(int i = 0; i < N; i ++ )
for(int j = 0; j < N; j ++ )
{
tmp[i] = (tmp[i] + (LL)b[j] * (LL)c[j][i]) % m;
}
memcpy(a, tmp, sizeof tmp);
return;
}
void mul(int a[][N], int b[][N], int c[][N])
{
int tmp[N][N] = {0};
for(int i = 0; i < N; i ++ )
for(int j = 0; j < N; j ++ )
for(int k = 0; k < N; k ++ )
{
tmp[i][j] = (tmp[i][j] + (LL)a[i][k] * (LL)c[k][j]) % m;
}
memcpy(a, tmp, sizeof tmp);
return;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
int f[N] = {1, 1, 1}; //fn fn+1 Sn
int a[N][N] = {
{0, 1, 0},
{1, 1, 1},
{0, 0, 1},
};
n --;
while(n) //快速幂
{
if(n & 1) mul(f, f, a);
mul(a, a, a);
n >>= 1;
}
cout << f[2] << endl;
return 0;
}
1217. 垒骰子
赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。
经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！
我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。
假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。
atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。
两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。
由于方案数可能过多，请输出模 109+7 的结果。
输入格式
第一行包含两个整数 n,m，分别表示骰子的数目和排斥的组数。
接下来 m 行，每行两个整数 a,b，表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。
输出格式
共一个数，表示答案模 109+7 的结果。
数据范围
\(1≤n≤1e9\)
\(1≤m≤36\)
\(1≤a,b≤6\)
输入样例
2 1
1 2
输出样例
544
dp(TLE)
c++代码(只能过7个数据O(6 * 6 * n))
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 6, M = 1e7, mod = 1e9 + 7;
int n, m;
int op[8] = {0, 4, 5, 6, 1, 2, 3};
int st[8][8];
int f[M][10]; //由i个骰子垒成的最上面的数为j的方案数
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= m; i ++ ) //冲突
{
int a, b;
cin >> a >> b;
st[a][b] = st[b][a] = true;
}
for(int i = 1; i <= n; i ++ )
{
for(int j = 1; j <= N; j ++ ) //枚举要放的骰子最上层的数
{
if(i == 1) f[i][j] = 4;
else
{
for(int k = 1; k <= N; k ++ ) //枚举当前垒子的最上层的数
{
if(st[op[j]][k]) continue; //处理冲突
f[i][j] = ((LL)f[i][j] % mod + ((LL)f[i - 1][k] * 4) % mod) % mod;
}
}
}
}
int res = 0;
for(int i = 1; i <= N; i ++ )
res = (res + f[n][i]) % mod;
cout << res << endl;
return 0;
}
dp + 矩阵乘法 + 快速幂
处理冲突可以转换成矩阵乘法
递推公式: \(f_{n} = f_{1} \ * A^{n - 1}\)
1.\(A^{n - 1}\) ->快速幂
2.\(f_{1}\) 最底层的骰子每个数有四个方向->初始化为4
c++代码 O(6 * 6 * 6 * logn)
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 6, mod = 1e9 + 7, M = 7;
int n, m;
int op[8] = {0, 4, 5, 6, 1, 2, 3};
//a = b * c 矩阵乘法
void mul(int a[][M], int b[][M], int c[][M])
{
int tmp[M][M] = {0};
for(int i = 1; i <= N; i ++ )
for(int j = 1; j <= N; j ++ )
for(int k = 1; k <= N; k ++ )
{
tmp[i][j] = ((LL)tmp[i][j] + (LL)b[i][k] * (LL)c[k][j]) % mod;
}
memcpy(a, tmp, sizeof tmp);
return;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
int a[M][M];
for (int i = 1; i <= N; i ++ )
for(int j = 1; j <= N; j ++ )
a[i][j] = 4;
//mul函数f可写成6*6矩阵
int f[M][M] = {{},{0, 4, 4, 4, 4, 4, 4}}; //代表顶面的数 f[1]
//构造A矩阵
for(int i = 1; i <= m; i ++ )
{
int x, y;
cin >> x >> y;
a[x][op[y]] = 0, a[y][op[x]] = 0;
}
int k = n - 1;
while(k) //快速幂
{
if(k & 1) mul(f, f, a);
mul(a, a, a);
k >>= 1;
}
int res = 0;
for(int i = 1; i <= N; i ++ )
res = ((LL)res + f[1][i]) % mod;
cout << res << endl;
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号