poj 3061 Subsequence

题目链接：

来自罗勇军《算法竞赛》书中的习题。
题意：给长度为 \(N\) 的数组和一个整数 \(S\)，求总和不小于 \(S\) 的连续子序列的最小长度。

方法一：尺取法

主要思想为：当 \(a_1, a_2 , a_3\) 满足和 \(\geqslant S\),得到一个区间长度 \(3\), 那么去掉开头 \(a_1\)，剩下 \(a_2,a_3\)， 是否满足 \(\geqslant S\)，如果满足，那么区间长度更新，如果不满足，那么尾部向后拓展，判断 \(a_2,a_3,a_4\) 是否满足条件。重复这样的操作。

主要分为四步：

1. 如果 \(\rm sum<S\)，就不断的放大 \(\rm right\)，直到 \(\rm sum \geqslant S\) 或者 \(\rm right>N\)
2. 如果第 \(1\) 步循环结束，\(sum<S\)，程序结束，不走到 \(3\)
3. 满足 \(\rm sum \geqslant S\)，更新 \(\rm res=min(res,right-left)\)
4. 放大 \(\rm left\) 回到 \(1\)

时间复杂度为 \(O(n)\).

\(\rm eg.\)

\(\rm ans=2\).

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

int s[100005];

void solve() {
	int N, S;
	cin >> N >> S;
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		cin >> s[i];
	}
	int l = 1, r = 1, sum = 0, ans = N + 1;
	while (l <= r) {
		while (r <= N && sum < S) sum += s[r++];
		if (sum < S) break;
		ans = min(ans, r - l);
		sum -= s[l++];
	}
	if (ans == N + 1) cout << 0 << "\n";
	else cout << ans << "\n";
}

int main()
{
	int t = 1;
	cin >> t;
	while (t--) solve();
	return 0;
}

方法二、前缀和+二分

如果想要求出序列中某个连续子序列的和，我们可以采用前缀和的方式求出。得到前缀和之后,我们可以采取双循环枚举的方式枚举序列的所有子区间,从而得出合适的区间长度。但由于本题数据范围为 \(O(10^5)\)，显然这样会超时。

for(int i = 1; i <= n; i ++) {
	for(int j = i; j <= n; j ++ ){
		if(sum[j] - sum[i - 1] >= s) {
			ans = min(ans,j - i + 1);
			break;
		} 
	}
}

分析第二重循环可以发现,我们只需要找到第一个满足 \(\rm sum[j] - sum[i - 1] \geqslant s\) 的就可以直接 \(\rm break\) 了,但是我们需要去枚举每一个 \(\rm sum[j]\),比较浪费时间,可以发现, \(\rm sum[x]\) 是一个递增的序列,这时候我们就可以采取二分的策略,寻找到第一个满足 \(\rm sum[j] - sum[i - 1] \geqslant s\) 的 \(j\)。时间复杂度为 \(O(nlogn)\).

#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define INF 0x3f3f3f3f

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 10;

typedef long long LL;

LL sum[maxn], a[maxn];

int t, n, s; 

int main() {
	cin >> t;
	while(t --) {
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		cin >> n >> s;
		for(int i = 1; i <= n; i ++) {
			cin >> a[i];
			// 前缀和 
			sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
		}
		// 特判,如果整个序列和 < s,则一定没有合适的区间 
		if(sum[n] < s) puts("0");
		else {
			int ans = INF;
			for(int i = 1; i <= n; i ++) {
				int l = i;
				// 后面的判断没有意义,可以直接跳出循环 
				if(sum[n] - sum[l - 1] < s) break;
				int r = n;
				// 二分查找最小的右端点满足 sum[mid] - sum[i - 1] >= s 
				while(l < r) {
					int mid = l + r >> 1;
					if(sum[mid] - sum[i - 1] < s) l = mid + 1;
					else r = mid;
				}
				// 寻找到最小的区间 
				ans = min(ans,r - i + 1);
			}
			cout << ans<< endl;
		}
	}
	return 0;
}

参考文献：poj3061:Subsequence(最短子序列和) -- 前缀和与二分