XYD 8/1 归并排序与逆序对的性质以及应用

归并排序与逆序对

在归并排序的过程中，由于会涉及到两个序列的首位比较，如果我们作升序排序并且 \(a_{left} > a_{right}\)，又因为左右序列都已经有序，所以 \(left\) 左边的数也可以构成逆序对，每次的贡献为 \(mid - left + 1 (mid = \frac{left+right}{2})\)

例题

1.求逆序对

逆序对模板，直接用归并排序套即可。

2.最小点对

大意：在一个平面上有 \(n\) 个点，求在所有点对中两点距离的最小值。

我们采用分治的思想，将所有点按照 \(x\) 轴排序，然后再按照 \(y\) 轴排序。

那么此时的线段有三种情况，\(mid\) 左边，\(mid\) 右边，和跨越 \(mid\)。在左右两边直接取最小值就行了，然后在左右取到 \(mid\) 的 \(x\) 轴坐标距离小于当前答案的某几个点。然后在这些点对中取最小值与答案进行比较。

其中要点对的 \(y\) 轴坐标之差大于等于当前最小答案的情况，因为 \(y\) 轴的距离都大于答案了，那么就肯定不是最优解。

3.疯狂的作业

考虑贪心，第一次做精力值最大的作业，然后去做最小的作业，保证差最大，然后去做次大的作业，就这样一直贪心，直到作业都做完。

4.眼红的Medusa

我们可以使用 map 这个数据结构，存放每个人获奖的顺序和编号。在第二次读入获奖名单时，如果发现这个人在 map 中有过记录，那么把这个人放入答案数组中，最后获奖顺序排序即可。

5.小埋的怪兽游戏

使用树状数组来记录逆序对，将原数组排序后离散化。设 \(dis_i\) 表示第一个大于 \(a_i\) 的数的值，注意，这里 \(a_i\) 已经排好序并且离散化过了，然后我们就可以从大到小，使用树状数组来计算逆序对。

6.编程组队

依旧使用贪心，将原数组从小到大排序，\(1,2\) 一组，\(3,4\) 一组，就这样分下去，那么答案就是 \(a_2 - a_1 + a_4 - a_3 + a_6 - a_5 + ... + a_n - a_{n-1}\)。

7.交换拼图

我们发现 \(h\) 和 \(w\) 都非常的小，所以我们可以枚举每一列和每一行的交换情况，这一点全排列可以做到，接着核对是否与 \(B\) 矩阵相同。计算交换次数也非常简单，我们对每一行和每一列进行编号。那么当交换行或列时，就会产生一个逆序对，所以我们要计算行编号和列编号的逆序对，答案就是逆序对总和的最小值。

8.独木桥

毒瘤

9.母舰

可以使用 upper_bound 来计算攻击防御系统所要使用的攻击力最小的攻击系统。这样可以使得真实伤害更高。当然，还要计算防御系统的剩余个数，如果大于 \(0\)，而且我们的攻击系统已经全部使用了，那么只好输出 \(0\)，因为我们没法再攻击了。（这道题数据太水了，建议加强o(￣▽￣)ブ）

10.坐标排序

直接开一个 pair 然后按 \(x\) 轴和 \(y\) 轴排序就好了。

11.Fib 斥数

现预处理斐波那契数列的前 \(30\) 项，此时 \(fib_{30}\) 已经过万，不用担心约数太多。然后采用 \(O(\sqrt {n})\) 的分解约数算法，先处理一个数的约数的前一半，然后就可以处理后一半的约数了。记得对一个数的所有约数进行排序。然后直接进行模拟判断约数是否互质就可以了。

总结

• 归并排序

• 归并排序求逆序对

• 树状数组求逆序对

• 贪心

• 二分