P8816 [CSP-J 2022] 上升点列 题解

最长上升子序列

根据题目中，每个坐标的横纵坐标均单调递增，所以明显可以使用最长上升子序列.

定义状态 \(f_{i,p}\)，表示正在节点 \(i\) 时，还剩下 \(p\) 次插入机会，所能达到的最大长度.

定义变量 \(dis = |x_i-x_j|+|y_i-y_j|-1.\)，表示 \(i\) 到 \(j\) 节点至少要插 \(dis\) 个节点.

为什么要 \(-1\) 呢？因为 \(i\) 节点不用查呀.

状态转移方程

\(f_{i,p} = max(f_{i,p},f_{j,p-dis}+dis+1).\)

目标

\(max\){\(f_{i,k}\)}，\(1 \le i \le n\).

初始化

\(f_{i,j} = j+1,0 \le j \le k，1 \le i \le n.\)

解释一下

首先，这里的 \(max\) 就像一维的最长上升子序列一样，然后插 \(dis\) 个节点首先会

耗费 \(dis\) 次插入机会，然后是距离 \(dis\)，但是为什么要 \(+1\) 呢？因为 \(j\) 节点要是要插入的.

目标很好理解，取最大值就行，但初始化设为 \(j+1\) 是因为最简单的方法就是直接插 \(j\) 个节点.

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<utility>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>

using namespace std;

int n, k;
pair<int, int> a[502]; // pair 存 x,y 坐标 
int f[502][102];
// f[i][p] 表示在节点 i 还剩下 p 次插入机会所能达到的最大长度 

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%d%d", &a[i].first, &a[i].second);
	sort(a + 1, a + n + 1); // 按照 x 坐标排序 
	for (int i = 1; i <= n; i++) { // 初始化 
		for (int j = 0; j <= k; j++) 
			f[i][j] = j + 1; // 直接放 j 个点
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) { // 最长上升子序列 
		for (int j = 1; j < i; j++) {
			if (a[j].first > a[i].first || a[j].second > a[i].second) continue; // 欧几里得距离不符合要求 
			int dis = abs(a[i].first - a[j].first) + abs(a[i].second - a[j].second) - 1; // 计算 i 到 j 至少要插多少个点 
			// 建议是因为 i 这个点不需要再插入了 
			for (int p = dis; p <= k; p++)
				f[i][p] = max(f[i][p], f[j][p-dis] + dis + 1); // 转移，用掉 dis 个点后加上 dis 长度 + 1
			// 加 1 是因为 j 这个点也要插 
		}
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		ans = max(ans, f[i][k]); // 在取 k 个点的情况下找最大值 
	printf("%d", ans);
	return 0;
}