算法第五章作业

1. 请用回溯法的方法分析“最小重量机器设计问题”
   最小重量机器设计问题：机器由 n 个部件组成，第 i 个部件有 mi 个供应商可选，供应商 j 提供的部件 i重量为 w(i,j)、价格为 c(i,j)。要求在总价格不超过上限 C 的前提下，选择每个部件的一个供应商，使得机器总重量最小。
   1.1 说明“最小重量机器设计问题"的解空间
   解空间是所有满足价格约束的部件供应商选择组合的集合，其中一个解是一个n维向量 X = {x1, x2, ... , xn} (1<=xi<=mi)，代表第 i 个部件选择第 xi 个供应商。
   1.2 说明 “最小重量机器设计问题"的解空间树
   该问题的解空间树是一棵 n+1 层的多叉树，每层节点对应一个部件的供应商选择决策，结构特点如下：
   根节点：位于第 0 层，无任何部件被选择，是搜索的起点，有 m1 个子节点。
   第 i 层节点（1<=i<n）：对应第 i 个部件的供应商选择，每个节点的子节点数量等于第 i+1 个部件的供应商数量 m(i+1)。
   叶子节点：位于第 n 层，对应一个完整的部件-供应商组合方案（即一个长度为 n 的解向量）。
   1.3 在遍历解空间树的过程中，每个结点的状态值是什么
   回溯法遍历解空间树是深度优先的过程，每个结点需要记录关键状态信息，用于判断是否需要剪枝、是否能生成合法解等，具体状态值包括 4 类：
   当前处理的部件层数 k，已选部件的总价格 sum_C，已选部件的总重量 sum_W，全局最优解的记录 best_W。

2. 你对回溯算法的理解
   回溯算法是一种基于深度优先搜索（DFS）的带剪枝的穷举搜索策略，核心思想是 “试探-验证-回溯-剪枝”，适用于求解组合优化、排列、子集等具有 “多阶段决策” 特征的问题。只要解空间中存在合法解，回溯算法一定能找到（前提是不遗漏剪枝条件），并且实现过程中无需显式存储整个解空间树，而是通过递归或栈的方式动态生成节点，节省内存。其中值得注意的是，剪枝条件设计得越精准，搜索效率越高。若没有有效剪枝，回溯算法可能退化为暴力穷举。