算法第四章作业

一、选点问题解答

最优贪心策略：
（1）排序：所有区间按右端点非降序排列（核心关键）。
（2）初始：选第一个区间的右端点作为首个选点。
（3）遍历：依次检查后续区间，若当前区间不包含最后一个已选点（左端点>已选点），选当前区间右端点为新选点，选点数加一，直至所有区间被覆盖，即全部遍历完。

贪心选择性质证明：
（1）设全局最优解为S={x1,x2,...,xk}，按升序排列（x1<x2<...<xk）。
（2）按贪心策略选的第一个点为 y1（第一个区间的右端点），全局最优解的第一个点为 x1 。
（3）因区间按右端点升序，第一个区间右端点y1>=x1（若y1<x1，则第一个区间未被x1覆盖，与S是最优解矛盾）。
​（4）用y1替换S中的x1，得到新集合S'={y1,x2,...,xk} ，因x1<=y1，x1覆盖的区间y1均能覆盖，故S'仍是最优解。
（5）剩余未覆盖区间构成子问题，重复上述逻辑，每次贪心选择均可替代最优解中的对应点。

时间复杂度分析： 排序阶段O(nlogn) ，遍历选点阶段O(n) ， 故时间复杂度O(nlogn) 。

二、对贪心算法的理解
（1）核心思想：不追求全局预判，仅做局部最优选择，逐步累积得到全局最优解，依赖问题本身的特殊性质。
（2）适用前提：必须满足两个关键性质，其一贪心选择性质（局部最优可推全局最优）；其二最优子结构性质（全局最优解包含子问题的最优解）。
（3）核心特点：优势是逻辑简、代码易实现、效率高，局限是仅适配特定问题。