算法第三章作业

1. 实践报告（按照动态规划法的求解步骤分析作业题目 “数字三角形” ）
   1.1 递归方程式（定义与边界）
   设:dp[i][j]表示从第i行第j列元素出发，到达底部的路径数字之和的最大值；a[i][j]表示第i行第j列元素。
   递归方程式：dp[i][j] = a[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])。
   边界条件：当到达末行（i=n）时，仅包含自身元素，即：dp[n][j] = a[n][j] (1<=j<=n)。
   1.2 填表法中表的维度、范围和顺序，以及最优值是哪个表格元素
   维度：二维表格dp，维度为n*n (dp[n][n],n为三角形行数)。
   范围：1≤i≤n，1≤j≤i。
   顺序：从底部向上，每行内部按从左到右顺序填充。
   最优值：dp[1][1]。
   1.3 分析该算法
   时间复杂度：O(n^2)。
   空间复杂度：O(n^2) (可优化为O(n))。
2. 你对动态规划算法的理解和体会
   动态规划其核心思想是 “拆分问题、存储子问题解、避免重复计算”，可以看出本质是 “以空间换时间”。包含两个关键特性：一是最优子结构，原问题的最优解包含子问题的最优解；二是重叠子问题，会重复计算大量相同子问题（动态规划通过表格存储子问题解，有效避免了重复计算）。动态规划最关键的步骤是根据最优子结构推导出可行的递归方程式，并明确边界条件。不过，有时候要找到确切可行的子问题的状态定义是比较困难的。