算法第二章实践作业

1. 描述找第k小的数的分治算法（自然语言）
   （1）选基准：从数组里随机挑一个数当作基准值（比如第一个或最后一个元素，比较好的是从第一个，中间那个和最后的选出数值大小居中的）。
   （2）分区：把数组分成三部分，比基准小的（左区），等于基准的（中区），比基准大的（右区）。
   （3）判断递归（直接返回）：如果中区的下标等于k，那么中区值，即基准值，就是第k小数（直接返回）。如果不然，看第k小数落在哪个区，左区长度>=k，就去左区找第k小数，否则去右区找第k小的数（递归搜索）。
2. 分析该算法的最好时间复杂度和最坏时间复杂度
   （1）最好时间复杂度：O(n)。每次分区都能均分数组，且只遍历当前数组O(n)，但递归只需走左/右区其中一块，递归层数仅logn，T(n)=n+n/2+n/4+...=O(n)。
   （2）最坏时间复杂度：O(n^2)。每次选的基准是数组最值，分区仍遍历O(n)，但递归要走n层（每层只排除 1 个最值元素），T(n)=n+(n-1)+(n-2)+...+1=O(n^2)。
3. 结合本章的学习，谈谈你对分治法的体会和思考
   分治法的核心是 “分而治之”，简而言之就是“拆大问题->解小问题->合并答案”，不过得保证拆出来的小问题和原问题是一个类型的。其次，并非所有问题都要复杂的合并步骤，比如找第k小数，分区后只需要递归一半，也不用合并左右结果，而像归并排序才需明确合并两个有序子数组。这说明分治法的关键是“分”，“治”要按实际需求操作。另外，拆分的策略决定了效率上限，失败的策略反而会增加复杂度。总而言之，对于复杂问题（如归并排序、汉诺塔），分治法能将逻辑拆解为 “拆分-求解-合并” 三步走，降低代码编写难度，便于理解和维护。