几大分布函数

目录

1、0-1分布（两点分布、伯努利分布）

2、几何分布

3、二项分布

4、高斯分布（正态分布）

5、卡方分布 （chi-square distribution）

6、t分布

• 6.1 置信区间
• 6.2 例题

7、泊松分布

8、指数分布

9、F分布

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1、0-1分布

单个二值型离散随机变量的分布，概率分布函数：

2、几何分布

离散型概率分布，定义为：n次伯努利试验中，试验k次才能得到一次成功的机率。即前k-1次皆失败，第k次成功的概率。

概率分布函数：

3、二项分布

n次伯努利试验，各次试验之间相互独立，每次试验只有两种可能（抛硬币），相互对立。设事件发生的概率是P，不发生的概率是1-P，n次重复独立试验中发生K次的概率：

4、高斯分布（正态分布）

随机变量X服从数学期望为μ，方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。

μ决定正态分布的位置。

标准差决定正态分布的幅度。

性质：

标准正态分布：μ=0，σ=1。

性质：

 Φ(x)=1-Φ(-x)

5、卡方分布 （chi-square distribution）

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布N(0,1)（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。

随机变量 ：

记为：

其中参数  称为自由度，自由度不同就是另一个  分布。

卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度  很大时，  分布近似为正态分布。

性质：

6、t分布

正态分布是许多统计方法的理论基础。μ和σ决定了正态分布的位置和形态。为了应用方便，常将一般的正太变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态分布N(0,1)，使原来各种形态的正态分布都转换成了μ=0，σ=1的标准正态分布，也称为u分布 。

根据中心极限定理，通过抽样模拟试验表明，在正态分布总体以固定n抽取若干个样本时，样本均数的分布仍然服从正态分布N(μ,  )。所以对样本均数（均值）的分布进行u变换，也可以变换为标准正态分布。

实际工作中，σ²（总体方差）是未知的，所以常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换。

统计量t值的分布称为t分布。假设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，Y服从 分布，那么  的分布称为自由度为n的t分布，记为 

 

可以看出t分布以0为中心，左右对称的单峰分布；

t分布式一簇曲线，形态变化与n（确切的说自由度v）大小有关，自由度越小，t分布越低平；自由度越大，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）。

6.1 置信区间

已知X~N(μ，1)找一个区间，使得包含μ的真值的概率为95%，假n=5，则：

~ N(μ,  ) ~ N(μ，1/5) 

α = 1 - 95% = 0.05

查表得：

查表的方法：直接在标准正态分布表里面找概率 = 1-α/2 时的 z 取值。

含义：正态分布左侧的面积（概率）为0.975时候的横坐标值。（上分位）

Z_1-α/2：是下分位表示，意思是右侧面积为0.975。

注意：置信区间双侧检验，所以要α/2.

称随机区间为参数μ的置信度为95%的置信区间。

（1）已知总体方差，求总体均值的置信区间

是总体样本均值；

α是显著水平（1-置信度），若置信度是95%，则α=1-0.95=0.05；

Z_α/2称为Z值，可以查找标准正态分布表得到；（z(a/2)指的是标准正态分布的双侧临界值,z(a)当然就是单侧临界值）

σ：总体的标准差；

n：抽样出来的样本个数；

：样本的标准误差

（2）未知总体方差，求总体均值μ的置信区间

tα/2(n-1)称为t值，通过查t分布表得到(t_α/2(n-1) = t_1-α/2(n-1))；

S：样本的标准差

：样本的平均误差

6.2 例题

7、泊松分布

日常生活中，大量事件是有固定频率的，特点是我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。比如我们知道平均1小时生3个婴儿，请问下一个小时会出生几个？

泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率：

其中，P表示概率，N(t)表示某种函数关系，t是事件，n是数量。一个小时内出生3个婴儿的概率表示为P(N(1)=3)，λ表示事件的频率。

比如接下来两个小时，一个婴儿都不出声的概率为：

接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率：

8、指数分布

事件的时间间隔的概率，无记忆性。

例如婴儿出生的时间间隔，网站访问的时间间隔。。。。

指数分布可以从泊松分布推到出来，如果下一个婴儿要间隔时间t，就等同于t内没有任何婴儿出生：

9、F分布