线性回归

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线性回归的原理

线性回归应用场景

• 房价预测
• 销售额度预测
• 金融：贷款额度预测、利用线性回归以及系数分析因子

什么是线性回归

定义与公式

线性回归(Linear regression)是利用回归方程(函数)对一个或多个自变量(特征值)和因变量(目标值)之间关系进行建模的一种分析方式。
特点：只有一个自变量的情况称为单变量回归，多于一个自变量情况的叫做多元回归
通用公式：h(w)=W1X1+W2X2+W3X3…+b=wTx+b
那么怎么理解呢？我们来看几个例子
期末成绩：0.7x考试成绩+0.3x平时成绩

上面两个例子，我们看到特征值与目标值之间建立了一个关系，这个关系可以理解为线性模型。

线性回归的特征与目标的关系分析

线性回归当中线性模型有两种，一种是线性关系，另一种是非线性关系。

• 广义的线性模型
  • 自变量一次
  • 参数一次

线性回归的损失和优化原理

损失函数

我们要做的是依据我们的训练集，选取最优的θ，在我们的训练集中让h(x)尽可能接近真实的值。h(x)和真实的值之间的差距，我们定义了一个函数来描述这个差距，这个函数称为损失函数，表达式如下：

这里的这个损失函数就是著名的最小二乘损失函数，这里还涉及一个概念叫最小二乘法，这里不再展开了。

如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化(其实是数学当中的求导功能)回归的总损失！！！

优化算法

如何去求模型当中的W，使得损失最小？（目的是找到最小损失对应的W值）

线性回归经常使用的两种优化算法

正规方程

• 理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果
• 缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果

梯度下降(Gradient Descent)

什么是梯度下降

梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。

假设这样一个场景：一个人被困在山上，需要从山上下来(i.e. 找到山的最低点，也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低。因此，下山的路径就无法确定，他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。具体来说就是，以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降的地方走，（同理，如果我们的目标是上山，也就是爬到山顶，那么此时应该是朝着最陡峭的方向往上走）。然后每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷。

梯度下降的基本过程就和下山的场景很类似。

首先，我们有一个可微分的函数。这个函数就代表着一座山。

我们的目标就是找到这个函数的最小值，也就是山底。

根据之前的场景假设，最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，对应到函数中，就是找到给定点的梯度 ，然后朝着梯度相反的方向，就能让函数值下降的最快！因为梯度的方向就是函数之变化最快的方向。 所以，我们重复利用这个方法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最小值，这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向，也就是场景中测量方向的手段。

梯度的概念

梯度是微积分中一个很重要的概念

在单变量的函数中，梯度其实就是函数的微分，代表着函数在某个给定点的切线的斜率

在多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向

这也就说明了为什么我们需要千方百计的求取梯度！我们需要到达山底，就需要在每一步观测到此时最陡峭的地方，梯度就恰巧告诉了我们这个方向。梯度的方向是函数在给定点上升最快的方向，那么梯度的反方向就是函数在给定点下降最快的方向，这正是我们所需要的。所以我们只要沿着梯度的反方向一直走，就能走到局部的最低点！

梯度下降公式

• α是什么含义？

  α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长，意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离，以保证不要步子跨的太大扯着蛋，哈哈，其实就是不要走太快，错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢，导致太阳下山了，还没有走到山下。所以α的选择在梯度下降法中往往是很重要的！α不能太大也不能太小，太小的话，可能导致迟迟走不到最低点，太大的话，会导致错过最低点！

• 为什么梯度要乘以一个负号？

  梯度前加一个负号，就意味着朝着梯度相反的方向前进！我们在前文提到，梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向！而我们需要朝着下降最快的方向走，自然就是负的梯度的方向，所以此处需要加上负号

线性回归API

• sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True)
  • 通过正规方程优化
  • fit_intercept：是否计算偏置
  • LinearRegression.coef_：回归系数
  • LinearRegression.intercept_：偏置
• sklearn.linear_model.SGDRegressor(loss="squared_loss", fit_intercept=True, learning_rate ='invscaling', eta0=0.01)
  • SGDRegressor类实现了随机梯度下降学习，它支持不同的loss函数和正则化惩罚项来拟合线性回归模型。
  • loss:损失类型
    • loss="squared_loss": 普通最小二乘法
  • fit_intercept：是否计算偏置
  • learning_rate:string, optional
    • 学习率填充
    • 'constant': eta = eta0
    • 'optimal':eta = 1.0/ (alpha *(t + t0)) [default]
    • 'invscaling': eta = eta0 / pow(t, power_t)
      • power_t=0.25:存在父类当中
    • 对于一个常数值的学习率来说，可以使用learning_rate='constant’并使用eta0来指定学习率。
  • SGDRegressor.coef__：回归系数
  • SGDRegressor.intercept_： 偏置

sklearn提供给我们两种实现的API. 可以根据选择使用

波士顿房价预测

from  sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor


def linear1():
    """
    正规方程的优化方法对波士顿房价进行预测
    :return:
    """
    # 获取数据
    boston = load_boston()

    # 划分数据
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state=22)

    # 标准化
    transfer = StandardScaler()
    x_train = transfer.fit_transform(x_train)
    x_test = transfer.fit_transform(x_test)  # 控制变量, 用同样的参数进行标准化

    # 预估器
    estimator = LinearRegression()
    estimator.fit(x_train, y_train)

    # 得出模型
    print('正规方程——权重系数为：\n', estimator.coef_)
    print('正规方程——偏重为：\n', estimator.intercept_)


def linear2():
    """
        梯度下降的优化方法对波士顿房价进行预测
        :return:
        """
    # 获取数据
    boston = load_boston()

    # 划分数据
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state=22)

    # 标准化
    transfer = StandardScaler()
    x_train = transfer.fit_transform(x_train)
    x_test = transfer.fit_transform(x_test)  # 控制变量, 用同样的参数进行标准化

    # 预估器
    estimator = SGDRegressor()
    estimator.fit(x_train, y_train)

    # 得出模型
    print('梯度下降——权重系数为：\n', estimator.coef_)
    print('梯度下降——偏重为：\n', estimator.intercept_)

if __name__ == '__main__':
    linear1()
    linear2()

回归的性能评估

分析

回归当中的数据大小不一致，是否会导致结果影响较大，所以需要做标准化处理。

• 数据分割与标准化处理
• 回归预测
• 线性回归的算法效果评估

回归性能评估

均方误差(Mean Squared Error)MSE)评价机制：

注：y^i为预测值，y为真实值

• sklearn.metrics.mean_squared_error(y_true, y_pred)
  • 均方误差回归损失
  • y_true:真实值
  • y_pred:预测值
  • return:浮点数结果

代码

from  sklearn.datasets import load_boston
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LinearRegression, SGDRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error


def linear1():
    """
    正规方程的优化方法对波士顿房价进行预测
    :return:
    """
    # 获取数据
    boston = load_boston()

    # 划分数据
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state=22)

    # 标准化
    transfer = StandardScaler()
    x_train = transfer.fit_transform(x_train)
    x_test = transfer.fit_transform(x_test)  # 控制变量, 用同样的参数进行标准化

    # 预估器
    estimator = LinearRegression()
    estimator.fit(x_train, y_train)

    # 得出模型
    print('正规方程——权重系数为：\n', estimator.coef_)
    print('正规方程——偏重为：\n', estimator.intercept_)

    # 模型评估
    y_predict = estimator.predict(x_test)
    print('预测房价：\n', y_predict)
    error = mean_squared_error(y_test, y_predict)
    print('正规方程——均方误差为：\n', error)


def linear2():
    """
        梯度下降的优化方法对波士顿房价进行预测
        :return:
        """
    # 获取数据
    boston = load_boston()

    # 划分数据
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(boston.data, boston.target, random_state=22)

    # 标准化
    transfer = StandardScaler()
    x_train = transfer.fit_transform(x_train)
    x_test = transfer.fit_transform(x_test)  # 控制变量, 用同样的参数进行标准化

    # 预估器
    estimator = SGDRegressor()
    estimator.fit(x_train, y_train)

    # 得出模型
    print('梯度下降——权重系数为：\n', estimator.coef_)
    print('梯度下降——偏重为：\n', estimator.intercept_)

    # 模型评估
    y_predict = estimator.predict(x_test)
    print('预测房价：\n', y_predict)
    error = mean_squared_error(y_test, y_predict)
    print('梯度下降——均方误差为：\n', error)


if __name__ == '__main__':
    linear1()
    linear2()

梯度下降和正规方程的对比

梯度下降	正规方程
需要选择学习率	不需要
需要迭代求解	一次运算得出
特征数量较大可以使用	需要计算方程，时间复杂度高O(n3)

• 选择：
  • 小规模数据：
    • LinearRegression(不能解决拟合问题)
    • 岭回归
  • 大规模数据：SGDRegressor

拓展-关于优化方法GD、SGD、SAG

1. GD

   梯度下降(Gradient Descent)，原始的梯度下降法需要计算所有样本的值才能够得出梯度，计算量大，所以后面才有会一系列的改进。

2. SGD

   随机梯度下降(Stochastic gradient descent)是一个优化方法。它在一次选代时只考虑一个训练样本。

   • SGD的优点是：
     • 高效
     • 容易实现
   • SGD的缺点是：
     • CSGD需要许多超参数：比如正则项参数、选代数。
     • SGD对于特征标准化是敏感的。

3. SAG
   随机平均梯度法(Stochasitc Average Gradient)，由于收敛的速度太慢，有人提出SAG等基于梯度下降的算法
   Scikit-learn：岭回归、逻辑回归等当中都会有SAG优化