算法入门 --- 位运算

α. 位运算的定义

数据在计算机里以二进制的形式存在，所谓位运算便是直接对数据在内存中的二进制位进行操作.

β. 位运算的形式（参与运算的数以补码进行运算）

β1. &（位与）

1 & 1 = 1
0 & 1 = 0
1 & 0 = 0
0 & 0 = 0
我们常常利用 & 运算把 0 消掉，而保持其他位的1不变，除此之外，我们还可以判断一些数的性质，下面会提到.

a & b = 1 （当且仅当a，b均为1）

β2. |（位或）

1 | 1 = 1
0 | 1 = 1
1 | 0 = 1
0 | 0 = 0

a | b = 0 （当且仅当a，b均为0）

β3. ^（位异或）

1 ^ 1 = 1
0 ^ 1 = 0
1 ^ 0 = 0
0 ^ 0 = 1

a ^ b = 1（当且仅当a=b）

β4. << >> （位左移，位右移）

左移（a<<b）：将a向左移b位，后面补0，左移的结果为a增大2^b倍

a	b	a<<b
0000000 00000000 00000000 01011000	3	0000000 00000000 00000010 11000000
88	增大8倍	704

右移（a>>b）
如果a为正整数， 将a带符号向右移b位，高位补零，右移的结果为a的2^b倍.
如果a为负整数，右移的结果为a/2的b次方向上取整，具体解释可以参考这篇文章—>传送门

a	b	a>>b
0000000 00000000 00000000 01011000	3	0000000 00000000 00000000 01011000
88	减小8倍	11
10000000 00000000 00000000 01100100	4	10000000 00000000 00000000 00000111
-100	减小16倍	-7

对于正整数来说，左移右移的操作和乘或者除2的幂次的效果是一样的，我们经常可以用位运算代替乘除法，因为位运算更底层，乘法和除法的本质也就是多次位运算，相比较而言，直接使用位运算速度更快.

β5. ~ （取反）

~0 = 1
~1 = 0

γ. 位运算的巧妙应用

γ1. 判断奇偶性(n&1)

一般我们判断数据的奇偶性时，会通过整数能否被2整除来判断，但从二进制形式来看，对于一个奇数，它的二进制形式最后一位一定是一（最右边一位权值为1，其他权值均为2的正整数倍），如果最右边一位为一，它肯定不能被2整除，即为奇数，反之为偶数.

判断一个数二进制形式最右边一位是否为1可以用到 & ，对于一个数 n，n & 1的结果便是把其最后一位取出来，我们再进行判断0 | 1 即可

  11001
& 00001
  ——————
  00001

所以在编程时，我们可以使用位运算来代替取余判断

    if (n % 2 == 0) { // 如果为偶数

    }
    if (n & 1) { // 如果为奇数

    }

γ2. 快速乘，快速幂

这里我请参考我的另一篇文章—>传送门，大致思想就是通过位运算，将计算a*b 以及a^b的计算时间复杂度转换为O(log(n)).

γ3. 判断一个数是否为2的指数幂（n&(n-1)）

正常情况下我们判断一个数是否为2的指数幂的思路为：一直被2整除直到结果变成1或者非1奇数，这种思路的时间复杂度为O(log(n))，而使用位运算可以达到O(1)的效果.
一个二次幂的正整数n，它的二进制形式（不考虑存储的位数），为最左边一个1，接着右边全为0，而对于n-1，它相较于n最左边变为0，右边全为1，不难发现，二者相与结果为零，并且可以证明非二次幂的正整数n&(n-1)不会为0（这里就不花费篇章证明了）.

n	n-1	n&(n-1)
1000000	0111111	0000000
100011	100010	100011

γ4. 找出唯一一个只出现一次的数(其他都是成对出现的)

a ^b ^b = a
如果给定我们一系列乱序的书页码（共n页），让我们从中找到，丢失的一页，这个性质便派上了用场，我们先枚举出1-n并相异或，再和输入的书页码相异或，这样，除了丢失的页码只出现一次，其他页码均出现两次，便得到了我们寻找的答案.

γ5. 枚举子集

这里笔者会用另外一篇文章来讲解，大家尽请期待~