决策单调性优化DP学习笔记

用途

废话，当然是在DP式子满足某些性质的时候来优化复杂度……

定义

对于\(j\)往大于\(j\)的\(i\)转移，可以表示成一个关于\(i\)的函数\(f_j(i)\)，也就是\(dp_i=\max/\min\{f_j(i)\}\)。

若是取\(\max\)，并且在某一个地方\(f_j(i)\)从下面跑到了\(f_k(i)\)的上面（如果加入\(f_j(i)\)这个函数时本来就在\(f_k(i)\)的上面那么不算），就称之为\(j\)取代了\(k\)。取\(\min\)同理。

如果满足决策单调性，那么必须满足：对于任意\(i,j\in [1,n]\)，\(f_j(x)\)与\(f_i(x)\)没有交点或是只有一个交点，也就是\(i\)和\(j\)最多取代一次。

狭义的决策单调性是指对于\(i<j\)和他们的决策点\(p_i,p_j\)，会有\(p_i<p_j\)。也就是说，对于\(j<k\)，就只能有\(k\)取代\(j\)。

广义的决策单调性指只要一个题中取代关系唯一（只有大取代小或小取代大），那么都可以做。

显然，狭义决策单调性也被包含在广义决策单调性内。

显然，狭义和广义是我自己编出来的。可能是民科行为，但只是为了写着简单，所以求不喷。

狭义决策单调性

分治

简单易懂，适合\(dp_i=\max/\min\{g_j+w_{i,j}\}\)这种与\(dp_j\)无关的递推式。

考虑一个类似整体二分的做法：设\(solve(l,r,L,R)\)表示已知\([l,r]\)全部由\([L,R]\)转移而来，求出\(dp[l,r]\)。

每次设\(mid=(l+r)/2\)，然后暴力扫\([L,R]\)，找到\(mid\)的决策点\(p\)，然后分治\(solve(l,mid-1,L,p)\)，\(solve(mid+1,r,p,R)\)。

复杂度：会做\(\log n\)层，每层的\(\sum(r-l+R-L)\)都是\(O(n)\)的，所以总复杂度\(n\log n\)。

优点：当\(w_{i,j}\)不能\(O(1)\)或\(O(\log n)\)计算时用暴力扫的方式或许可以做出来，比如区间逆序对等。

缺点：转移不按顺序，所以递推式必须与\(dp_j\)无关。如果有关，那么需要强套一个 CDQ 分治上去，会多一个 \(\log\) 。

注意：如果做的时候还扫了\([R,l]\)，那么复杂度分析就会挂！

单调队列

适合\(dp_i=\max/\min\{dp_j+w_{i,j}\}\)的递推式，要求\(w_{i,j}\)可以快速求出。

狭义决策单调性保证了比较靠前的决策点被取代后就可以被忽略了，所以可以维护一个队列，队首是当前最优的决策点，队尾是后面加入、还有潜力取代前面的决策点。（记\(q[l]\)为队首，\(q[r]\)为队尾）

每次考虑\(q[l]\)和\(q[l+1]\)，如果\(q[l]\)没那么优，那么就把它弹掉。

加入当前点的时候，就要搞一些事情了。

如果什么都不管直接加入，那么会出现这样的尴尬情况：\(q[l]\)优于\(q[l+1]\)，但\(q[l]\)劣于\(q[l+2]\)。

如何避免呢？使用上面\(f_j(x)\)函数数形结合的思想，如果加入这个点\(i\)后\(q[r]\)潜力就没了，也就是\(i\)取代\(q[r-1]\)比\(q[r]\)取代\(q[r-1]\)还快，那么就把\(q[r]\)弹掉。这样一来，上面的\(q[l+1]\)根本就不会出现在队列里面。

至于判断在哪里会取代，那就要二分那个位置了。

复杂度：显然\(O(n\log n)\)。

优点：转移按顺序。

缺点：要求\(w_{i,j}\)可以快速求出。

广义决策单调性

大取代小的时候上面已经讲过，不再赘述。

单调栈

现在是小取代大，比如\(f_2(i)\)一直默默无闻，而\(f_4(i)\)一直是统治地位，突然在\(i=10\)的时候2把4取代了。

这种时候，就不能再用单调队列，而是要用单调栈了。当栈顶没有下面的函数优的时候就弹栈。压入当前函数时若\(st[top-1]\)取代\(i\)比\(st[top]\)还快就弹栈。

本质上其实和单调队列差别不大，也是要二分，也是要求\(w_{i,j}\)能快速求出，复杂度也是\(O(n\log n)\)。

不过小取代大这种情况只有这一种做法，所以就没有优缺点一说了。

判断决策单调性

讲了这么多做法，还没有讲怎么判断这一性质。

一般来说应该是先写出DP式子，各种优化方法试一遍都不行，那就尝试严谨或感性证明。

如果实在不会证，那可能可以打表猜结论。猜中了当然好，但如果随机数据都过了，而结论其实是假的，那……

那你就要祈祷出题人用的就是随机数据。

一般来说我倾向于随机数据猜结论。

有一种简单的判断决策单调性的方法（但只能适用于某些性质更好的 \(w\) ）：考虑 \(r\) 变大的时候对 \(l\) 的影响，比如区间逆序对的时候对 \(l_1\) 的影响肯定是不小于 \(l_2>l_1\) 的。