Exponentiation by squaring

Exponentiation by squaring

第一次接触快速幂是解决一道n阶复数群的加密问题时，有个mul函数一直无法理解，学长说这就是曲线上的快速幂算法，作用呢就是加快幂运算的速度，在直接计算x^a的情况下我们进行a-1次乘法操作，而利用快速幂算法只需log₂a，复杂度由原来的O(n)降到了O(log(n))，可以说是质的飞跃了

算法流程

计算x^a

进行如下操作

定义:次数time=a,temp=x，结果ans=1

判断time奇偶性

若2|time->temp=temp²，time=time/2；

若2\(\nmid\)time->aes=aes×temp，time=time-1

重复上述操作直到time=0

正确性证明

设f(x,a)为计算x的a次方

当2|a时f(x,a)=f(x²,\(\frac{a}{2}\))

当2\(\nmid\)a时f(x,a)=x×f(x,a-1)

用递归的想法考虑单个过程很容易理解

ps:快速模幂算法类似，在每次ans进行操作时加上模运算即可

快速幂算法不仅可以用于数域上，在矩阵和多项式上都能够适用，并且快速幂算法传递的是一种分治的策略，即通过不断将原问题化小，最后将解合并

代码实现

def qpow(x,a):
    temp=x
    time=a
    ans=1
    while time:
        if time%2==0:
            temp=temp**2
            time=time//2
        else:
            ans*=temp
            time=time-1
    return ans