oymz

摘要： Theory 对于组合数 \(\binom{n}{m} \bmod p\)，Lucas 定理常用于 \(p < n\) 的情况，或使用 Form 1 对问题进行分析。 \(p\) 为一质数。 Form 1 设 \(n, k\) 的 \(p\) 进制表示为 \[n = n_0 p^0 + n_1p^1 阅读全文

摘要： 高维前缀和 - 咚咚的锵 - 博客园 SoS dp(子集dp/高维前缀和) - Young_Cloud - 博客园 Theory 按维考虑，计算前缀和 for (int i = 0; i < L; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (j >> i & 1 阅读全文

摘要： Theory 用集合中的最大值求集合中的最小值。 基本形式 \[\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T) \]\[\min(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\max(T) \]可推广为 阅读全文

摘要： F - Maximum Diameter 首先规约问题，先考虑对于一个确定的 \(X\) 怎样求 \(f(X)\)，我们发现若存在 \(\sum X = 2n - 2\) 则一定可以构成一棵树，且一定可以得到一颗直径为 \(\sum [X_i > 1] + 1\) 的树。具体构造如下。 首先，树一定 阅读全文

摘要： 理论 定义 矩阵：由 \(m \times n\) 个数组成的 \(m\) 行 \(n\) 列的结构，第 \(i\) 行第 \(j\) 个数记为 \(A_{i, j}\)。 方阵： \(m = n\) 的矩阵。 零矩阵：每个数都是 \(0\) 的矩阵。 单位矩阵：主对角线为 \(1\)，其余为 \( 阅读全文

摘要： BSGS 问题 给定整数 \(a, b, p(0 < a < p, 0 \le b < p, a \perp p)\)，求最小的非负整数 \(x\) 使得 \[a^x \equiv b \pmod p \]或判断 \(x\) 是否存在。 过程 思想：根号，折半搜索 令 \(t = \sqrt p + 阅读全文

摘要： 欧拉定理（Euler's theorem，ET） 定义 如果正整数 \(a \perp n\)，\(a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod p\). 特殊情况：费马小定理 没人觉得欧拉和费马很好磕吗？ 证明 令 \(X = \{x \mid 1 \le x \le n,x \pe 阅读全文

摘要： 求解类似于下图的问题 求法 数学归纳法实现 ExCRT 设前 \(k - 1\) 个方程的最小非负整数解为 \(x_0\)，前 \(k - 1\) 个方程的模数的 \(\operatorname{lcm}\) 为 \(M\)，则其通解为 \(X = x_0 + Mt\)。 对于第 \(k\) 个方程 阅读全文

摘要： 定义 \(\varphi(n)\) 表示小于等于 \(n\) 的正整数中与 \(n\) 互质的数的个数. 性质 1 若 \(p\) 为质数，则 \(\varphi(p^k) = p^k - p^{k - 1}\). 证明： 考虑容斥，令 \(n = p^k\) 用 \(n\) 减去 \(n\) 以内 阅读全文

摘要： 理论 若存在一个数 \(x\) 使得 \(ax \equiv 1 \pmod{m}\) 则称 \(x\) 为 \(s\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\)。 逆元存在的充要条件：\(a, m\) 互质 证明： 必要性：若 \(\gcd(a, m) = d > 1\)，因为 \(ax \equiv 阅读全文