一些笔记
两个月博客一直处于咕咕咕状态，原因有两个，第一我懒，第二我没图
「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对
题意简述：求长度为 \(n\) 的逆序对数恰好为 \(k\) 的排列个数，答案对 \(10^9+7\) 取模。\(n\leq k\leq 10^5\)
首先，第 \(i\) 个数可能会和前面的数产生 \(0,1,...,i-1\) 个逆序对，所以答案等价于求 \(0\leq a_i\leq i-1,a_1+a_2+...,a_n=k\) 的方案数。
解法一：（口胡）
类似付公主的背包，考虑生成函数 \(F(x)=1\times (1+x)\times ...\times (1+x+x^2+...+x^{n-1})\)
然后我们找规律找出 \(\text{Ln}\ (1+x+x^2+...+x^n)\)，调和级数算一算，多项式 \(\text{Exp}\) 算一算。不过模数不是 \(998244353\)，要用 \(MTT\)
时间复杂度 \(O(n\log n)\)
解法二：
我们曾解决过一个 \(naive\) 的问题，求 \(a_1+a_2+...a_n=k\) 的方案数，但其中有 \(m\) 个数有限制，其中 \(a_{p_i}<b_i\)，\(m\leq 20\)
我们知道上界不好处理，考虑容斥，枚举哪几个数突破限制，强制令这些数 \(a_{p_i}\geq b_i\)，然后就可以把 \(k-b_i\)，转换成 \(simple\) 的问题——不定方程的非负整数解个数。
若 \(a_1+a_2+...a_n=k\)，那么不定方程非负整数解的个数为 \(\Large{n+k-1\choose k-1}\)
现在我们也类似刚刚的方法，但这个上界比较特殊，我们可以 \(dp\)。\(f[j][i]\) 表示选了 \(j\) 个数超过限制，\(\sum b=i\) 的方案数。
我们发现 \(dp\) 可以转换成有一个容量为 \(k\) 的背包，物品体积为 \(1,2,...,n\)，每个物品只能放一次，求方案数。
如果我们直接背包的话是 \(O(n^2k)\) 的，所以考虑优化，至少我们不能枚举物品体积。
因为这里物品的体积是 \(1,2,...,n\)，所以超出限制的数的个数不会超过 \(\sqrt{2k}\) 个。我们再转换问题，求有多少个上升序列长度为 \(j\)，和为 \(i\) 时，其中的数 \(\in [1,n]\)
因为是上升序列，我们逆向差分一下，令 \(b_i=a_i-a_{i+1}\)，那么序列的和就变成了 \(\sum_{k=1}^{j}b_k\times k\)，我们也只用保证 \(b_k>0\)
这样就好 \(dp\) 了。
对于一个长度为 \(j\)，和为 \(i\) 的差分后的序列，我们可以把最后一个数 \(+1\)，也可以在最后添加一个 \(1\)，\(f[j][i]=f[j][i-j]+f[j-1][i-j](i\geq j)\)
但是我们可能会出现 \(a_1>n\) 的情况，这时我们令 \(a_1=n+1\)，\(f[j][i]-=f[j-1][i-n-1](i>n)\)
为什么令 \(a_1=n+1\) 是对的呢？
因为每次 \(a_1\) 最多 \(+1\)，每当 \(a_1=n+1\) 时，就会把不合法的减掉。如果从状态 \(n+i\) 转移到 \(n+i+1\)，那么前面 \(j-1\) 项和为 \(0,1,..,i-1\) 时的情况都被减过了，只用再减去和为 \(i\) 的情况就行了。
这样愉快的 \(dp\) 部分就结束了。
现在只要枚举超过的和 \(i\)，把 \(dp\) 完的值乘上容斥系数后加起来再乘上 \(\Large{k-i+n-1\choose n-1}\)就行了。
时间复杂度 \(O(k\sqrt{k})\)
最近啃了一篇 rxd 的论文，关于树上连通块问题的，总结一下。
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若连通块包含根，可以按照 dfs 序转移，用背包确定切掉哪些子树。
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点数-边数=1，可以配合上一条使用，就是算出强制包含一个点-强制包含一条边的方案数，具体见完美的集合，因为有个组合数取模我没做。
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用线段树合并维护整体 dp，PKUSC2019D2T1 就是整体 dp 的板子题，在线段树上维护加法和乘法标记。有一些 dp 是在叶子结点只有有限个状态，可以不用线段树合并，用平衡树合并，比如 ZJOI2019 Minimax 搜索和 PKUWC2018 Minimax。
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若是连通块最优化或计数问题，可以在深度最浅处统计答案。如 Qtree6,7。
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动态 dp，一般写树剖就够了，除非出题人恶意卡。对于一些乘法形式的 dp，我们选择记录答案和 0 的个数，额外开个结构体使 0 值可除。
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基于 LCT 的数据结构 Top Tree （没学，咕咕咕）
脑子不够用了，一些 sb 状压 dp 都想不出来，总结一下。
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最小/最大表示法，以最小/最大值表示一个集合，若有多个最小值用编号最小的那个。
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一个 dp 状态难转移，就开两个，如限制每个点子树大小的有根树计数，可以用树/森林的方案数来表示状态。
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二进制不好表示状态，可以用三进制，如给你一个最长上升子序列方案数。
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枚举子集 \(O(3^n)\)。
