整数的相关性质

1. 整除性理论

对于整数$a, b$, 如果存在整数$q$, 使得$a = bq$, 则称$b$整除$a$, 记作$b|a$.

若存在整数$d$, 使得$d|a, d|b$, 则称$d$为$a, b$的公因数，其中，最大的$d$称为$a, b$的最大公因数，记作$(a, b)$或$\mathrm{gcd}(a, b)$.

若存在整数$m$，使得$a|m, b|m$, 则称$m$为$a, b$的公倍数，其中，最小的$m$称为$a, b$的最小公倍数，记作$[a, b]$.

定理

对于任意整数$ a, b(b \ne 0)$, 存在唯一整数$q, r$, 使得$a = bq + r$, 其中$0 \leqslant r < |b|$. 这里的$r$可以记作$a\ \mathrm{mod\ }\ b$.

首先证明$q, r$的存在性。若$b > 0$, 考虑$\dots, -2b, -b, 0, b, 2b, \dots$, a必然要落在某个区间$[qb, (q+1)b)$内, 从而令$r = a - qb$即可。若$b < 0$, 利用刚才的结论，存在$q', r'$, 使得$a = q'|b| + r'$, 即$a = (-q')b+ r'$. 令$q = -q', r = r'$即可。

再证明$q, r$的唯一性。若存在$q', r'$, 使得$a = bq' + r'(0 \leqslant r' < |b|)$, 则$bq + r = bq' + r'$, 即$b(q - q') = r - r'$, 两边取绝对值, $|b| |q - q'| = |r - r'|$. 若$q \ne q'$, 则等式左边$\geqslant |b|$, 而等式右边$<|b|$. 从而两边不可能相等。因此$q = q'$, 从而$r = r'$.

辗转相除法（欧几里得算法）

若$a = bq + r$, 则$(a, b) = (b, r)$.

2. 理想

若$I$是$\mathbb{Z}$的一个非空子集，且满足以下两个条件：

若$a, b \in I$, 则$a - b \in I$.
若$a \in I$, 则对于任意$k \in Z, ka \in I$. 则称$I$是$\mathbb{Z}$的一个理想。

记$(a) = \{ka | k \in \mathbb{Z}\}$, 即$(a)$可以记作$\dots, -2a, -a, 0, a, 2a, \dots$, 对于$(a)$中任意两个元素$ma, na$, $(m-n)a$显然是$(a)$中元素；此外，对于任意$k \in Z$, $kma = (km)a$也是$(a)$中元素，从而$(a)$是$\mathbb{Z}$的一个理想。若$(a) \subset (b)$, 则$a \in (b)$, 从而存在整数$q$, 使得$a=bq$, 即$b|a$.

定理

若$I$是$\mathbb{Z}$中的理想，则存在非负整数$a$, 使得$I = (a)$.

证明：如果$I = {0}$, 取$a = 0$即可；否则, $I$中包含非零元素$t$, 由于$I$是一个理想，根据定义，$-t$同样是I中元素，从而$I$中必然存在正整数，记I中的最小正整数为$a$. 显然$(a) \subset I$. 另一方面，对于$I$中任意元素$b$, 存在整数$q, r$使得$b = aq + r$, 其中$0 \leqslant r < a.$ 由于$b, aq$都是$I$中元素，根据定义，$b - aq$同样是$I$中元素，即$r$是$I$中元素。然而，我们已经令$a$是I中最小正整数，从而根据$r$的取值范围，$r$必然为0. 从而$b= aq$. 这就证明了$I$中任意元素$b$都是$(a)$的元素，即$I \subset (a)$. 最终得到$I = (a)$.

这样，对于$\mathbb{Z}$中任意两个包含非零元素的理想$I_1, I_2$, 存在正整数$a, b$使得$I_1 = (a), I_2 = (b)$. 定义：

$I_1 \cap I_2 = \{ m | m \in I_1且m \in I_2\}$, 称为理想$I_1, I_2$的交，容易验证这是一个理想。从而存在正整数$m$, 使得$I_1 \cap I_2 = (m)$. 从而$(m) \subset (a), (m) \subset (b)$. 即$a | m, b | m$. 考虑$a, b$的任一公倍数$m_1$, $(m_1) \subset (a), (m_1) \subset (b)$. 从而$(m_1) \subset (a) \cap (b) = (m)$, 即$m | m_1$, 从而$m$是$a, b$的最小公倍数。

$I_1 + I_2 = \{m + n | m \in I_1, n \in I_2\}$, 称为理想$I_1, I_2$的和，容易验证这也是一个理想。从而存在正整数$d$, 使得$I_1 + I_2 = (d)$. 由于$I_2$包含0, 从而$I_1 \subset (d)$, 同理$I_2 \subset (d)$. 即$d | a, d | b$. 考虑$a, b$的任意公约数$d_1$, $(a) \subset (d_1), (b) \subset (d_1)$. 从而$(a) + (b) \subset (d_1)$, 即$(d) \subset (d_1)$, 也就是说$d_1 | d$. 从而$d$是$a, b$的最大公约数。

总而言之，以上内容可总结为：对于正整数a, b, (a) ∩ (b) = ([a, b]), (a) + (b) = ((a, b)). 由此可以推出一个在密码学中常用的结论，若$a, b$互质，则$(a, b) = 1$, 从而$(a) + (b) = (1)$. 从而存在整数$u, v$, 使得$ua + vb = 1$.

3. 算术基本定理

对于任意正整数$n > 1$, 可以唯一表示为若干质数$p_1, p_2, \cdots, p_t$的乘积，即

\[ n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_t^{e_t} \]

其中$e_1, e_2, \cdots, e_t$都是正整数。

（存在性）对于正整数2，显然存在这样的表示。如果对于小于$n(n >2)$的正整数都存在这样的表示，则对于$n$, 若$n$为质数，则立即得证；否则存在正整数$p, q$, 使得$n = pq$. 由于$p, q < n$, 故$p, q$存在这样的表示，从而$n$也存在这样的表示。

（唯一性）对于正整数2，显然这样的表示是唯一的。如果对于小于$n(n > 2)$的正整数，这样的表示唯一。则对于$n$, 假设$n$存在两种不同的表示: $p_1p_2\dots p_m和q_1q_2\dots q_n$. 由于这里的$p_i, q_j(i = 1, 2, \dots, m, j = 1, 2, \dots, n)$都是质数，对于$p_1$, 存在某个$q_k$, 使得$p_1 | q_k$, 由于二者都是质数，从而有$p_1 = q_k$. 将等式两边同除以$p_1$, 就得到$\frac{n}{p_1}$的两种不同表示，这与我们的前提条件矛盾，从而这样的表示必然是唯一的。

4. 同余

对于整数$a, b$和正整数$m$, 若$a, b$除以$m$后所得的余数相同，或者说$m | (a - b)$, 则称$a, b$模$m$同余，记作$a = b (\ \mathrm{mod}\ m)$. 对于正整数n, 记不大于n且与n互质的正整数的个数为$φ(n)$. 这个函数称为欧拉函数。例如，与6互质且不大于6的正整数有1, 5. 从而$φ(6) = 2$. 若$p$为质数，则与$p$互质且不大于6的正整数有$1, 2, ..., p-1$. 从而$φ(p) = p - 1$.

1. 对于正整数n, 若φ(n) = t, 令$r_1, r_2, \dots, r_t$为不大于n且与n互质的t个互不相同的数。对于正整数k, 若(k, n) = 1, 则

\[ kr_1 \ \mathrm{mod}\ n, kr_2 \ \mathrm{mod}\ n, \dots, kr_t \ \mathrm{mod}\ n \]

也是不大于$n$且与$n$互质的$t$个互不相同的数，也就是说这$t$个数是$r_1, r_2, \dots, r_t$的一个重排。

要证明上述结论，

首先需要证明$kr_i \ \mathrm{mod}\ n(i = 1, 2, \dots, t)$与$n$互质，由于$(k, n) = 1, (r_i, n) = 1$, 从而$(kr_i, n) = 1$, 从而$kr_i \ \mathrm{mod}\ n$与$n$互质；

随后需要证明对于任意$i, j$, 若$i \ne j$, 则$kr_i \ \mathrm{mod}\ n \ne kr_j \ \mathrm{mod}\ n$. 假设两者相等，则$k(r_i - r_j) = 0 (\ \mathrm{mod}\ n)$. 又由于$(k, n) = 1$, 则$n | (r_i - r_j)$, 由$r_i, r_j$的取值范围可知$r_i - r_j$必然为0. 从而$r_i = r_j$. 这与$r_i \ne r_j$相矛盾。从而可知我们的命题正确。

2. 根据上一条结论，

\[ r_1r_2\dots r_t = (kr_1 \ \mathrm{mod}\ n)(kr_2 \ \mathrm{mod}\ n)\dots(kr_t \ \mathrm{mod}\ n) (\mathrm{mod}\ n)\]

从而\[ (k^t - 1)r_1r_2\dots r_t = 0 (\mathrm{mod}\ n) \]

又由于$r1, r_2, \dots, r_t$与$n$互质，从而$n | (k^t - 1)$, 即$k^t = 1 (\ \mathrm{mod}\ n)$.

3. 若$(n_1, n_2) = 1$, 则$φ(n_1, n_2) = φ(n_1)φ(n_2)$.

4. 若将正整数$n$记作第3节中算术基本定理的分解形式，则$φ(n) = n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots(1-\frac{1}{p_t})$.

(中国剩余定理) 对于$k$个两两互质的正整数$m_1, m_2, \cdots, m_k$, 任给$k$个正整数$a_1, a_2, \cdots, a_k$. 存在正整数$x$, 使得$x = a_i (\mathrm{mod}\ i)(i = 1, 2, \cdots, k)$.

参考资料

1. 《高等代数简明教程》（下册，第二版）蓝以中

posted @ 2022-08-17 10:13 overxus 阅读(233) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部