[CSAPP笔记]Binary , Unsigned , Signed 之间的相互装换

LaTex+MarkDown+Pandoc组合套件写博客的处女作，试试效果。各自的分工为：Latex下编辑公式，在Sublime Text 2下使用Markdown排版，最后用Pandoc导出。

摘要

本文主要讲解 Binary , Unsigned , Signed 三种数据中任意两者之间的转换。下面是文中的一些约定写法。

• 转换名称
  • B2U_w(x) : 将位数为w的二进制数 binary 转换为无符号数Unsigned
  • B2T_w(x) : 将位数为w的二进制数 binary 转换为补码 Two's complement
• 二进制数的表示 (x) : 用一个向量表示，x = ( x₁ , x₂ , ... , x_w)

1. U2B_w(x)

直接用辗转相除法即可。

2. S2B_w(x)

正数直接装换，然后左边添加0 ； 负数先将其绝对值装换成二进制数，再对低w-1位取反，最高位添加1，用公式表示即为： 下面以三位的三进制数来说明有符数的补码表示

• 3 = 011
• 2 = 010
• 1 = 001
• 0 = 000
• -1 = 111
• -2 = 110
• -3 = 101
• -4 = 100

3. B2U_w(x)

\begin{equation} B2U_w\left( \overrightarrow{x} \right) \doteq \sum_{i=0}^{w-1} x_i 2^i \label{B2U} \end{equation}

4. B2T_w(x)

\begin{equation}B2T_w\left( \overrightarrow{x} \right) \doteq -x_{w-1} 2^{w-1} + \sum_{i=0}^{w-2} x_i 2^i \label{B2T} \end{equation}

5. T2U_w(x)

函数 T2U_w(x) 定义为 T2U_w(x) = T2B_w(B2U_w(x)) 。这个函数输入的是一个 -2^(w-1) ~ 2^(w-1)-1 之间的数，而输出的无符数也即为该有符数的补码表示。
对于位模式 下的有符二进制数 $\overrightarrow{x}$ ，对比式($\ref{B2U}$) 和式($\ref{B2T}$) , 计算两者之差，我们就可以得到：$ B2U_w\left( \overrightarrow{x} \right) - B2T_w\left( \overrightarrow{x} \right) = x_{w-1}  \left( 2^{w-1} - \left( -2^{w-1} \right) \right)  =  x_{w-1} 2^w $ 。这样就得到了：$B2U_w\left( \overrightarrow{x} \right) = x_{w-1} 2^w + B2T_w\left( \overrightarrow{x} \right)$。若令 $\overrightarrow{x} = T2B_w \left( x \right) $ ，则其反函数为 $ x = B2T_w \left( \overrightarrow{x} \right) $。  由前面三式以及T → B → U变换的传递性，可得：

\begin{equation} B2U_w\left( T2B_w \left( x \right) \right) = T2U_w \left( x \right) = x_{w-1} 2^w + x \label{T2U} \end{equation}
这个关系对于理解“有符数变换得到的无符数也即补码”很有用。 

$$ T2U_w \left( x \right)=\left\{
\begin{aligned}
& x+2^w, & x<0,x_{w-1}=1 \\
& x, & x \geq 0,x_{w-1}=0 
\end{aligned}
\right.$$

下图说明了 T2U 的转换行为：对于非负数（x ≥ 0）, T2U 保留原值 ：

图1.　从补码到无符号数的转换。函数 将负数转换为大的正数

6. U2T_w(x)

函数 U2T_w(x) 定义为 U2T_w(x) = B2T_w(U2B_w(x)) 。这个函数输入的是一个 0 ~ 2^(w-1)-1 之间的数，输出则为一个 -2^w ~ 2^(w-1) 之间的数。
上一节我们已经得到，对于负数（x < 0）,T2U 被装换为一个大于2^w − 1的正数。
反过来，我们再来推导无符号数 u 和与之对应的有符号数 U2T_w(u)之间的关系。 利用上一节的结论， $B2T_w\left( \overrightarrow{u} \right) = B2U_w\left( \overrightarrow{u} \right) - u_{w-1} 2^w$ 。若令 $\overrightarrow{u} = U2B_w \left( u \right)$，则其反函数为 $u = B2U_w \left( \overrightarrow{x} \right)$ 。由前面三式以及 T → B → U 变换的传递性，可得：

\begin{equation}B2T_w\left( U2B_w \left( u \right) \right) = U2T_w \left( u \right) = u - u_{w-1} 2^w \label{U2T} \end{equation}

在 u 原始的无符号表示法中，最高位u_w − 1决定了 u 是否大于或等于 2^w − 1, 无符数 u 到有符数的装换分段表示为：

$$ U2T_w \left( u \right)=\left\{
\begin{aligned}
& u, & u<2^{w-1},x_{w-1}=0 \\
& u-2^w, & x \leq 0,x_{w-1}=1
\end{aligned}
\right.$$

下图说明了 U2T 转换行为：对于小的数（u < 2^w − 1）, U2T 保留原值 ； 对于大的数（u ≥ 2^w − 1）,U2T 被装换为一个负数：

图2.从无符号数到补码的转换。函数U2T 把大于 的数字转换为负值

练习

1.如下函数，在32bit系统中，求问foo(2^31-3)的值是：

int foo(int x) { 
    return x&-x; 
}

A.0  B.1  C.2   D.4

解答：

• (1).运算符号的优先级，减号 '-' 高于异或 '^' 。所以 2^31-3=2(31-3)=2^28=30
• (2).32位机器中int整型的位数的为 w=32 ，位运算 x 取反,其实为 0xFFFFFFFF-x ,而不是用 2³² 减去。
• (3).本题中，x=30=0x1E ,依据 T2U_w 可得 -x=0xFFFFE2,所以_x&-x=2_,本题选B
• (4)有么有更简单方法。

y = x & (-x)
That does a bitwise AND between the variable x and its negation, and assigns the result to the variable y. If your system uses two's complement signed arithmetic , then what that manages to get you is the greatest power of 2 that is a factor of x. So, if x is 24, y gets assigned 8, and if x is 12, y gets assigned 4, and if x is 99, y becomes 1. To understand why it does that, you need to understand binary, and two's complement. Look them up on wikipedia.

• 用 15, 16 ,48 三个数验证结论
  • x=15=0x0F , -x=-15=2³²-0x0F=0xFFFFFFF1 , 所以 x&-x=0xF1 & 0x0F = 1 ;
  • x=16=0x10 , -x=-16=2³²-0x10=0xFFFFFF0 , 所以 x&-x=0xF0 & 0x10 = 16
  • x=48=0x30 , -x=-48=2³²-0x30=0xFFFFFD0 , 所以 x&-x=0xD0 & 0x30 = 16
• 总结起来就是, x&-x 得到的是数x的最低一位的非0比特数。

reference

1. CASPP

2. yahoo关于y = x & (-x)问题的解答