第三章 函数极限

1. 函数极限的定义
设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数 \(\mathrm{A}\) ，对于 任意给定的正数 \(\varepsilon\) (无论它多么小)，总存在正数 \(\delta\) 使得当 \(x\) 满足不等 式 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 时，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式:

\[|f(x)-A|<\varepsilon \]

那么常数 \(\mathrm{A}\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x \rightarrow x_{0}\) 时的极限，记作

\[\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A \]

2. 函数极限性质
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等；
2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。
但是，如果一个数列有界，这个数列末必收敛。例如数列 \(1 ，-1 ， 1 ，-1 ， \ldots . . ，(-1) n+1 ， \ldots . .\)
3、保号性: 若 \(\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=a>0 \quad\) (或<0)，则 对任何 \(m \in(0 ， a) \quad(a<0\) 时则是 \(m \in(a ， 0)\) ），存在 \(N>0\) ，使 \(n>N\) 时有 \(x n>m \quad\) (相应的xn \(<\mathrm{m}\) )。
4、保不等式性：设数列 \(\{x n\}\) 与 \(\{y n\}\) 均收敛。若存在正数 \(N\) ，使得当 \(n>N\) 时有 \(x n \geq y n\) ，则 \(\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n} \geq \lim _{n \rightarrow+\infty} y_{n}\)
5、和实数运算的相容性：䢃如：如果两个数列{xn}，{yn} 都收敛，那么数列 \(\{x n+y n\}\) 也收敛，而且 它的极限等于 \(\{x n\}\) 的极限和 \(\{y n\}\) 的极限的和。
6、与子列的关系: 数列 \(\{x n\}\) 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛
3. 复合函数求极限
对内层函数求得x0处的极限u0，再求外层函数在u0处的极限。极限代表的是一种趋向性，函数f(x)在x=x0处的极限与f(x)在x=x0处的函数值无关（假设f(x)在x=x0处有定义），所以函数极限定义用的是x0的去心邻域，因为当x=x0时，|f(x)-A|=|f(x0)-A|0)f(x)=0。
4. 无穷大量
若自变量x无限接近x0（或|x|无限增大）时，函数值|f(x)|无限增大，则称f(x)为x→x0(或x→∞)时的无穷大量。例如f(x)=1/(x-1)^{2是当x→1时的无穷大量，f(n)=n}2是当n→∞时的无穷大量。无穷大量的倒数是无穷小量。应该特别注意的是，无论多么大的常数都不是无穷大量。
5. 单侧极限
定义 设函数 \(f\) 在U \({ }^{0}\left(x_{0} ; \bar{\delta}^{\prime}\right)\left(\right.\) 或U \(\left.{ }^{0} \cdot\left(x_{0} ; \bar{\delta}^{\prime}\right)\right)\) 内有定义， \(A\) 为定数. 若对 任给的 \(\varepsilon>0\) ，存在正数 \(\delta\left(<\delta^{\prime}\right)\) ，使得当 \(x_{0}<x<x_{0}+\delta(\) 或 \(\left.x_{0}-\overline{<} x<x_{0}\right)\) 时，有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\) ，则称 数 \(A\) 为函数 \(f\) 当 \(x_{0}^{+}\)趋于 \(x_{0}{ }^{+}\left(\right.\)或 \(\left.x_{0}{ }^{-}\right)\)时的右 \((\)左 \()\)极 限，记 作 : \(\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A(\) 或 \(\left.\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=A\right)\). 或 \(f(x) \rightarrow A\left(x \rightarrow x_{0}^{+}\right)\left(f(x) \rightarrow A\left(x \rightarrow x_{0}^{-}\right)\right)\).
右极限与左极限统称为单侧极限. \(f\) 在点 \(x_{0}\) 的右极限与左极限又分别记为 \(: f\left(x_{0}+0\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}+} f(x)\) 与 \(f\left(x_{0}-0\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)\)
6. 特殊的函数极限

\[\begin{array}{c} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \\ \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e \end{array} \]

7. 例题
问题：lim(x→0）sinx/x=1的证明
解答：因为当x∈(0,π/2)，恒有不等式：sinx<x<tanx成立
因此，有：sinx/x<1且tanx=sinx/cosx>x，即cosx<sinx/x
即：cosx<sinx/x<1
由于cosx与sinx/x都是偶函数，所以上述不等式对0<|x|<π/2都成立
因此，注意到lim cosx=1
根据迫敛性得：lim sinx/x=1