$\text{Tricks}$ 合集

开坑记录一下做题过程中遇到的有用有推广意义的 \(\text{tricks}\) 。

数学

概率期望

\(\text{Min-Max}\) 容斥

对于一类求形如 “...... 都被满足” 或者 “至少满足一个条件” 等字眼时，不放考虑其对应的 \(\text{Min}\) 、\(\text{Max}\) 是否方便求解。

• 省选模拟赛 \(\text{3.13,T1}\) ：对于每一行每一列的 \(\text{Min}\) 是较容易直接计算的，再套用 \(\text{Min-Max}\) 容斥即可。

数据结构

寻求局部单调性

一类求解最大/最小值的题目，也许全局没有单调性，无法直接二分。但如果 树链、子树 等存在单调性，可以利用这个分段二分。

• 省选模拟赛 \(\text{3.14,T3}\) ：枚举起点，每一条重链上存在单调性，直接线段树上二分即可。

\(\text{DP}\)

计数

拆贡献

一类题目要求对所有情况下计数，每种情况中每个部分有其对应的贡献，可以考虑对于每个部分计算其在所有局面中的贡献。

• ARC140D - One to One 每一个连通块必定包含恰好一个环，考虑每一个环出现的次数即可。

可重序列计数极大/极小区间

极大区间 定义：若 \([l,r]\) 为极大区间，则 \([l,r]\) 去重之后与 \([l,r+1],[l-1,r]\) 去重后的结果不同。

极小区间 定义类似。

一类序列上计数问题可以转化成对 极大区间 或者 极小区间 来计数，具体选择哪个看题目中哪个会有更加良好的性质。

• ZROI2523 数区间集 极大区间不交，因此对其计数，再去重一下就行。

树形 \(\text{dp}\)

最优性问题

图论

树形结构

剥叶子

对于一些相邻节点存在限制关系的问题，可以考虑从叶子的情况入手（因为与之相邻的仅有一个）。

• ARC156C - Tree and LCS 对于每一层叶子结点标号重排即可，然后将其删除，继续考虑剩下的节点。
• ARC143E - Reversi 每次可以确定所有叶子结点与其父节点翻转的先后顺序，建出拓扑图即可。

构造

贪心

二进制运算从高位到低位贪心

从高位到低位考虑，判断每一位能否是 \(1\) ，贪心的选取结果就行。

\(\text{ps.}\) 这个 \(\text{tricks}\) 在很多题目里都有见到，但是还是不是很能切掉。

• 省选模拟赛 \(\text{3.10,T1}\) ：将合并操作抽象为树，每次枚举某一位在不影响之前位的情况下是否可以为 \(0\) 。