SP4191 MSKYCODE - Sky Code

题目大意

给出长为 $n$ 的序列 $a$，现在让你求出 $a$ 中有多少个四元组，满足这四个数的最大公约数等于 $1$。

对于 $100\%$ 的数据，满足 $1 \leq n \leq 10^4,1 \leq a_i \leq 10^4$。

解题思路

显然是莫比乌斯反演。

我们令 $f(n)$ 表示四个数最大公因数为 $n$ 的方案数，$F(n)$ 表示四个数的 $\gcd$ 为 $n$ 的倍数的方案数。

显然 $f(x)=\sum\limits_{x|d}\mu(\frac{d}{x})F(d)$。

$F(x)$ 怎么求呢？可以先记录每个数 $i$ 出现的次数 $cnt_i$，则是 $x$ 的倍数的数有 $\sum\limits_{x|d}cnt_d$ 个，记为 $p$，那么 $F(x)=\begin{pmatrix}p\\4\end{pmatrix}$，也就是从 $p$ 个数中选 $4$ 个数的方案数。

显然，$ans=f(1)=\sum\limits_{1|d} \mu(d)F(d)$，循坏累加即可。

CODE

#include <bits/stdc++.h>

#define int long long
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))

#define p_b push_back
#define m_p make_pair

const int INF = 0x3f3f3f3f, _ = 1e4;

using namespace std;

bool vis[_ + 7];

int num, prime[_ + 7], mu[_ + 7];

int n, a[_ + 7];

void init()
{
	mu[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= _; ++i)
	{
		if (!vis[i])
			prime[++num] = i, mu[i] = -1;
		for (int j = 1; j <= num; ++j)
		{
			if (prime[j] * i > _)
				break;
			vis[prime[j] * i] = 1;
			if (i % prime[j] == 0)
			{
				mu[prime[j] * i] = 0;
				break;
			}
			mu[prime[j] * i] = -mu[i];
		}
	}
}

int calc(int n) { return n * (n - 1) * (n - 2) * (n - 3) / 24ll; }

int F[_ + 7], d[_ + 7];

signed main()
{
	init();
	while (~scanf("%d", &n))
	{
		if (n < 4)
		{
			puts("0");
			continue;
		}
		memset(d, 0, sizeof d);
		memset(F, 0, sizeof F);
		for (int i = 1; i <= n; ++i)
			scanf("%d", &a[i]), d[a[i]]++;
		int ans = 0;
		for (int i = 1; i <= _; ++i)
			for (int j = i; j <= _; j += i)
				F[i] += d[j];
		for (int i = 1; i <= _; ++i)
			if (F[i] >= 4)
				ans += calc(F[i]) * mu[i];
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}