优化建图技巧

常见优化建图技巧 习题 题解。

已完成[8/11] 题解[8/11]

1.P5025 [SNOI2017]炸弹（紫）

容易想到每个炸弹向它爆炸范围内的炸弹连边，跑多源搜索，能抵达的节点数量即是答案。

考虑线段树建边优化，线段树内父亲向儿子连边，炸弹向范围区间连边，边数 $\mathcal O(n \log n)$ 条。

然后 tarjan 缩点成 DAG，跑搜索记录能到达的最左右端点即可。

时间复杂度 $\mathcal O(n \log n)$。

CODE

2.P3588 [POI2015] PUS（紫）

貌似是差分约束。

区间向区间连边，线段树优化建边，建虚点。

具体地，按套路建儿子向父亲连边的线段树，把操作区间分割的最多 $k+1$ 个子区间向虚点连边，虚点向给的 $k$ 个点连边，边数 $\mathcal O(k\log n)$。

接着拓扑跑最长路即可。

对于确定的数，即 $\operatorname{dis}$ 已确定。

时间复杂度 $\mathcal O(n\log n)$。

CODE

3.P5471 [NOI2019] 弹跳（紫）

相当于例题加强成二维矩阵。

考虑树套树优化建图，外层线段树，内层动态开点线段树，空间复杂度 $\mathcal O(n\log^2 n)$，边数 $\mathcal O(m\log^2n)$，无法通过。

优化 $1$：树套树内层换成 set 空间复杂度 $\mathcal O(n\log n)$。

优化 $2$：不直接连边，每次从树套树里取出扩展即可，

优化 $3$：由于 dij 上每个节点只会被删除和扩展一次，所以取出扩展完删除即可。

时间复杂度 $\mathcal O(n\log^2n)$，空间复杂度 $\mathcal O(n\log n)$。

4.P5331 [SNOI2019]通信（黑）

网络流模型：

$s \to x_i$，容量为 $1$，费用为 $0$。

$x_i \to T$，容量为 $1$，费用为 $w$。

$x_i\to x_j'(i>j)$，容量为 $1$，费用为 $|a_i-a_j|$。

$x_i'\to T$，容量为 $1$，费用为 $0$。

跑最小费用最大流即可，边数 $\mathcal O(n^2)$。

考虑优化，由于限制 $i<j$ 且费用带有绝对值。

考虑 cdq 分治，每次右区间向左区间连边。

首先将区间内权值排序去重，连成一条链，费用为相邻两点之差，将其作为连接左右区间的虚点。

具体地，区间点向虚点连边时，向权值对应链上的位置连边即可，这样就通过累积权值之间的差值实现了费用的绝对值（yytj。

CODE

5.P6378 [PA2010] Riddle（紫）

点的状态必然是选或不选，考虑 2-SAT。

记 $x$ 表示选，$x'$ 表示不选。

对于边的限制，至少一点选，直接 $x'\to y$，$y'\to x$，表示不选 $x$ 必选 $y$，不选 $y$ 必选 $x$。

对于部分的限制，一个点向该部分中除它以外的所有点连边，直接连边数是 $\mathcal O(n^2)$ 的。

考虑前缀优化建图。

记 $pre_i$ 表示前 $i$ 个点有关键点，$pre_i'$ 表示前 $i$ 个点没有关键点。

部分内连边：

$a_i\to pre_i$，$pre_i'\to a_i'$，表示选 $a_i$ 前 $i$ 个就有关键点。

$pre_{i-1}\to pre_i$，$pre_i'\to pre_{i-1}'$，表示前 $i-1$ 个点有关键点那么前 $i$ 个点有关键点。

$pre_{i-1}\to a_i'$，$a_i \to pre_{i-1}'$，表示前 $i-1$ 个点有关键点那么 $a_i$ 不选。

时间复杂度 $\mathcal O(n)$。

CODE

6.CF1215F Radio Stations（2700）

2-SAT。

先看限制一，$u,v$ 至少有一个，连边 $u'\to v,v'\to u$ 即可。

限制二，$u,v$ 最多有一个，连边 $u\to v',v\to u'$ 即可。

限制三，选择的点的区间有交集，记任意一点 $f$，考虑前缀优化建图，记 $pre_i$ 表示 $f\leq i$，$pre_i'$ 表示 $f>i$。

连边：

$i\to pre_{l_i-1}’$，$i\to pre_{r_i}$。

$pre_{l_i-1}\to i'$。

$pre_{r_i}’\to i'$。

$pre_i \to pre_{i+1}$。

$pre_{i+1}’\to pre_i'$。

最后建图跑 tarjan 即可，时间复杂度 $\mathcal O(n)$。

CODE

7.CF1007D Ants（3200）

2-SAT。

考虑如何确定限制，树剖线段树反向记录每条路径对应在线段树上的点，即记录每条边被哪些路径包含，线段树上的叶子节点即为边。

对于一条树边，其被包含的路径编号即为它在线段树上的祖先和它的路径编号并集。

如果选一条路径上，那么它在线段树上的点的祖先和儿子的路径都不能选，即线段树上根到叶子的一条路径上的点的路径编号最多选一个。

考虑线段树上根前缀优化建图，套路了不讲。

时间复杂度 $\mathcal O(n\log^2 n)$。

CODE

8.P7712 [Ynoi2077] hlcpq（黑）

有暴力，$\mathcal O(n ^ 2)$ 建边，tarjan 求割点。

再考虑优化，拿出线段树优化建边过程，考虑到区间限制，扫描线加主席树即可。

然后发现，建虚点会使答案不对，故只构造结构而不建边。

回顾 tarjan 求割点的过程，树边递归完后执行 $low_y\to low_x$；返租边执行 $dfn_y\to low_x$。

对于树边，每次在线段树上找没有更新 $dfn$ 的节点，然后更新 $low$ 即可。

对于返租边，求出边的 $dfn$ 最小值即可。

时间复杂度均摊 $\mathcal O(n \log n)$。

CODE